Física II ⇒ Lentes convergentes Tópico resolvido

[joãofw]

Situa-se um objeto a uma distância p diante de uma lente convergente de distância focal f, de modo
a obter uma imagem real a uma distância p´ da lente.
Considerando a condição de mínima distância entre imagem e objeto, então é CORRETO afirmar
que
A) p3 + fpp’ + p’3 = 5 f3.
B) p3 + fpp’ + p’3 = 10 f3.
C) p3 + fpp’ + p’3 = 20f3.
D) p3 + fpp’ + p’3 = 25f3.
E) p3 + fpp’ + p’3 = 30f3.

Resposta

---

c

Neste exercício, não entendi qual deve ser a distância mínima entre a imagem e objeto. Qual é essa distância?

[Planck]

Olá, joãofw.

Bom, a menor distância acontece quando [tex3]\text p = \text {p’} = \text {2f}.[/tex3] Desse modo, pela equação de Gauss, ficamos com:

[tex3]\frac{1}{\text{f}} = \frac{1}{\text {p}} + \frac{1}{\text{p’}} \implies \frac{1}{\text f}= \frac{\text p + \text {p’}}{\text {pp’}}[/tex3]

Mas, como [tex3]\text p = \text {p’} = \text {2f} \implies \text p + \text {p’} = 4\text f[/tex3]:

[tex3]\frac{1}{\text f}= \frac{4 \text f}{\text {pp’}} \iff \text{pp’} = 4\text{f}^2[/tex3]

Como na questão as alternativas estão todas com expoente [tex3]3,[/tex3] podemos fazer que:

[tex3]\(\text p + \text{p’}\) ^3=\( 4\text f\)^3 \iff \text p^3 + 3\text p^2( \text{p’}) + 3 \text p ( \text {p’})^2 + (\text{p’})^3 = 64 \text f^3[/tex3]

Podemos fatorar e obter o seguinte:

[tex3]\text p^3 + (\text {p’})^3 + 3 \text{pp’} ( \text{p} + \text{p’} ) = 64 \text f^3[/tex3]

Com a substituição de [tex3]\text p + \text{p’} = 4 \text f[/tex3] e [tex3]\text{pp’} = 4\text f^2[/tex3] vem que:

[tex3]\text p^3 + (\text {p’})^3 = 16 \text f^3 \iff \text p^3 + (\text {p’})^3 + 4 \text f^3= 16 \text f^3 + 4\text f^3 [/tex3]

Ou seja:

[tex3]\text p^3 + \text f \text{pp’} + \text{p’} = 20 \text f^3[/tex3]

Que questão! A parte de física é somente [tex3]\frac{1}{\text f} = \frac{1}{\text p} + \frac{1}{\text{p’}}[/tex3] e [tex3]\text p = \text{p’} = 2 \text f.[/tex3] O resto é manipulação matemática!

[joãofw]

nossa quanto tempo essa questão. Me lembro dela, é do ITA. Pura matemática mesmo. O que tive dificuldade foi na parte de física. Não fazia ideia que a distância mínima entre objeto e imagem era de 4f. É como se o objeto estivesse em um antiprincipal objeto e a imagem no outro antiprincipal.

[Planck]

nossa quanto tempo essa questão. Me lembro dela, é do ITA. Pura matemática mesmo. O que tive dificuldade foi na parte de física. Não fazia ideia que a distância mínima entre objeto e imagem era de 4f. É como se o objeto estivesse em um antiprincipal objeto e a imagem no outro antiprincipal.

Bem interessante essa questão. É daquelas que guardamos para olhar todo mês.

[joãofw]

Certinho. Muito obrigado

[Planck]

Certinho. Muito obrigado

De nada!