Física II ⇒ (FB) Mecanismos de transferência de calor Tópico resolvido

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Determine a temperatura que um corpo negro (pequeno) consegue atingir quando este se encontra no foco de uma lente convergente (f) exposta ao Sol. No modelo a ser seguido nessa situação considera que o corpo irá receber energia somente do Sol e irá irradiar energia para todos os lados.
Dados:
• O foco da lente é igual a duas vezes seu diâmetro. f = 2d(lente)
• A temperatura do Sol vale 5800K
• Considere que o Sol se comporte como um corpo negro

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Resposta

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Aproximadamente 2040K

[παθμ]

Seja [tex3]R[/tex3] o raio do Sol e [tex3]d_s[/tex3] a distância terra-sol. Seja também [tex3]r[/tex3] o raio da lente, com [tex3]f=4r.[/tex3]

A potência total irradiada pelo sol é [tex3]P_s=4\pi R^2 \sigma T_s^4,[/tex3] e a intensidade solar que chega na terra é [tex3]I=\frac{P_s}{4\pi d_s^2}=\frac{\sigma R^2 T_s^4}{d_s^2}.[/tex3] Ademais, a potência total que chega na lente é [tex3]P_l=\pi r^2 I=\frac{\pi r^2 \sigma R^2 T_s^4}{d_s^2}.[/tex3]



Para achar o raio [tex3]r_0[/tex3] da imagem do sol, usamos semelhança de triângulos: [tex3]\frac{R}{d_s}=\frac{r_0}{f} \Longrightarrow r_0=\frac{4rR}{d_s}.[/tex3]


Considerando a potência [tex3]P_l[/tex3] uniformemente distribuída pela imagem do sol de raio [tex3]r_0,[/tex3] temos que um pequeno corpo negro esférico de raio [tex3]r_c[/tex3] vai absorver uma potência [tex3]P=\left(\frac{r_c}{r_0}\right)^2P_l=\frac{\pi \sigma r_c^2 T_s^4}{16}.[/tex3]

Ademais, no equilíbrio térmico, a potência emitida deve ser igual. [tex3]P=\sigma 4\pi r_c^2 T^4.[/tex3]

[tex3]4\pi \sigma r_c^2 T^4=\frac{\pi \sigma r_c^2 T_s^4}{16} \Longrightarrow T=\frac{T_s}{64^{1/4}} \approx \boxed{2040 \; \text{K}}[/tex3]