Física II ⇒ Termodinâmica

[studyeng]

Um sistema consiste em ar em uma montagem pistão-cilindro, inicialmente a p1=20 lbf/in2, e ocupa um volume de 1,5 ft3
. O ar é comprimido para p2=100 lbf/in2 e o volume final de 0,5 ft3
. Durante o processo, a relação entre a pressão e o volume é linear. Determine a pressão, em lbf/in2, em um estado intermediário onde o volume é de 1,2 ft3 e esboce o processo em um gráfico de pressão versus volume. R: 44 lbf/in2

como sei que é linear, me explique tudo por favor

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• Pressão inicial: [tex3]\sf p_1 = 20 \, \text{lbf/in}^2 [/tex3]

• Volume inicial: [tex3]\sf V_1 = 1{,}5 \, \text{ft}^3 [/tex3]

• Pressão final: [tex3] \sf p_2 = 100 \, \text{lbf/in}^2 [/tex3]

• Volume final: [tex3] \sf V_2 = 0{,}5 \, \text{ft}^3 [/tex3]

• Processo: [tex3]\sf p \times V [/tex3] (têm uma relação linear (pressão é função linear do volume).

• Determinar [tex3]\sf p[/tex3] para [tex3]\sf V = 1{,}2 \, \text{ft}^3[/tex3]

Resolução:

O processo é linear entre os pontos inicial e final no gráfico de pressão versus volume. Isso significa que a relação entre pressão (p) e volume (V) pode ser expressa como uma equação linear:

[tex3] \displaystyle \sf p = a\, V + b [/tex3]

Onde 'a' é a inclinação da reta e b é o intercepto.

Primeiro, calcular a inclinação da reta.

[tex3] \displaystyle \sf a = \dfrac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1} \implies a = \dfrac{100 - 20}{0{,}5 - 1{,}5} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf a = \dfrac{80}{-1} \implies\textcolor{#EC5800}{ a = -\;80 \, \text{lbf/in}^2/\text{ft}^3} [/tex3]

Usando o ponto inicial para encontrar b:

[tex3] \displaystyle \sf p_1 = a \cdot V_1 + b \implies 20 = (-80) \cdot 1{,}5 + b [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf b = 20 + 120 \implies \textcolor{#E32636}{ b = 140 \, \text{lbf/in}^2} [/tex3]

A equação da reta é:

[tex3]\displaystyle \sf\textcolor{#0000FF}{ p = -\,80 \cdot V + 140} [/tex3]

[tex3] \sf a = -\, 80 < 0[/tex3], isso significa que temos uma função linear decrescente.

Pressão no volume intermediário (1,2 ft³):

[tex3] \displaystyle \sf p = -\,80 \cdot V + 140 \implies p = -\, 80 \cdot 1{,}2 + 140 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf p = -\,96+ 140 \implies \textcolor{#8A2BE2}{ p = 44\, lbf/in²} [/tex3]

Esboço do Gráfico:
O gráfico é uma linha reta que passa pelos dois pontos:
(1,5;20)
(0,5;100)
E o ponto intermediário:
(1,2;44)

Como o volume diminui (compressão), a pressão aumenta de forma linear, resultando em uma reta descendente da direita para a esquerda. O processo é irreversível (não segue uma lei de gás ideal simples), mas o diagrama P versus V é simplesmente essa reta reta.

Uma função ou equação é considerada linear quando sua representação gráfica é uma linha reta e ela demonstra uma relação de proporcionalidade constante entre suas variáveis.