Física II ⇒ Termodinâmica Tópico resolvido

[micro]

O pêndulo de um relógio é feito de invar([tex3]\alpha=0,7.10^{-6}/C[/tex3]). Tem período de 0,50s e é exato a 20ºC.

Se levarmos o relógio a temperatura de 30Cº, qual a correção aproximada do relógio, após 30 dias?

Resposta

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9,1s

[GiovanaMSPMOD]

É sabido que: [tex3]\mathrm{T_{Inicial}=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}}[/tex3]

Com o aumento da temperatura temos: [tex3]\mathrm{T_{Final}=2\pi \sqrt{\frac{\ell _0 \left(1+\alpha \Delta \theta \right)}{g}}}[/tex3]

Tal que: [tex3]\mathrm{\frac{T_{final}}{T_{Inicial}}=\sqrt{1+\alpha \Delta \theta }}[/tex3]

Para facilitar, por séries de Taylor podemos utilizar a seguinte aproximação:

[tex3]\mathrm{\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\ ...\approx 1+\frac{1}{2}x}[/tex3]

Para [tex3]\mathrm{x}[/tex3] pequeno.

Fazendo [tex3]\mathrm{x=\alpha \Delta \theta }[/tex3] temos: [tex3]\mathrm{\frac{T_{final}}{T_{Inicial}}\approx 1+\frac{1}{2}\alpha \Delta \theta }[/tex3].

Manipulando algebricamente a última aproximação obtemos:

[tex3]\mathrm{\frac{T_{final}}{T_{Inicial}}-1\approx \frac{1}{2}\alpha \Delta \theta \ \leftrightarrow\ \frac{\Delta T}{T_{Inicial}}\approx \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta }[/tex3]

Variação absoluta do período:

[tex3]\mathrm{\Delta T_{Periodo}=\frac{T\Delta T}{T}\approx \frac{1}{2} \alpha T\Delta \theta }[/tex3]

Segundos totais: [tex3]\mathrm{t_{Total}=86400t_{Dias}\ \therefore\ N_{Periodos}=\frac{t_{Total}}{T}=\frac{86400t_{Dias}}{T}}[/tex3]

Atraso total:

[tex3]\mathrm{\Delta t_{Atraso}=N\Delta T_{Periodo}=43200\alpha \Delta \theta t_{Dias}}[/tex3]

[tex3]\mathrm{\Delta t_{Atraso}\approx 43200\times 0,7\times 10^{-6}\times 10 \times 30\ \therefore\ \boxed{\mathrm{\Delta t_{Atraso}\approx 9,1\ s}}}[/tex3]