ITA 1959 ⇒ ITA 1959 - Parte III Tópico resolvido

[petrasMOD]

Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras.

1) Se m e p são números inteiros positivos tais que o número de combinações de m objetos p a p
seja igual ao número de combinações dos m objetos p - 1 a p - 1 então, m é necessariamente impar.

2)[tex3] \begin{vmatrix}
1 &a &2a+d \\
1& b&2b+d \\
1& c& 2c+d \\
\end{vmatrix} \neq 0[/tex3]

3) Inscreve-se um cubo C em uma esfera E. Nesse cubo inscreve-se uma esfera E'. Inscreve-se um novo cubo C' na esfera E'.
A área total do cubo C' é [tex3]\frac{2S}{3\pi}[/tex3], onde S é a área da esfera E.

4) Inscreve-se uma esfera em um cone circular reto cujo raio da base é a > 1. Então, lr > ha, onde h é a altura do cone, l a sua geratriz e r o raio da esfera.

5) A área lateral do tronco de pirâmide regular é igual ao produto do apótema pela soma dos perímetros das bases.

[rcompany]

1) Se m e p são números inteiros positivos tais que o número de combinações de m objetos p a p
seja igual ao número de combinações dos m objetos p - 1 a p - 1 então, m é necessariamente impar.

[tex3]
{m\choose p}={m\choose p-1}\Leftrightarrow \dfrac{m!}{p!(m-p)!}=\dfrac{m!}{(p-1)!(m-p+1)}\Leftrightarrow p=m-p+1\Leftrightarrow m=2p-1\implies m \text{ impar}
[/tex3]

[petrasMOD]

petras,

2)
\[
D =
\begin{vmatrix}
1 & a & 2a + d \\
1 & b & 2b + d \\
1 & c & 2c + d
\end{vmatrix}
\]


\[
\det(D) =
(1 \cdot b \cdot (2c + d) + a \cdot (2b + d) \cdot 1 + (2a + d) \cdot 1 \cdot c)
\]
\[
- ((2a + d) \cdot b \cdot 1 + a \cdot 1 \cdot (2c + d) + 1 \cdot (2b + d) \cdot c)
\]

\[
= ( b(2c + d) + a(2b + d) + c(2a + d) )
\]
\[
- ( b(2a + d) + a(2c + d) + c(2b + d) )
\]


\[
= 2bc + bd + 2ab + ad + 2ac + cd
\]
\[
- (2ab + bd + 2ac + ad + 2bc + cd)
\]


\[
2bc + bd + 2ab + ad + 2ac + cd - 2ab - bd - 2ac - ad - 2bc - cd = 0
\]

---

Portanto
\[
\det(D) = 0
\]

Portanto, verdadeira.


3) Relação entre o cubo C e a esfera E

Se um cubo está inscrito em uma esfera, isso significa que a esfera circunscreve o cubo. O diâmetro da esfera E é igual à diagonal do cubo C.

Seja L o lado do cubo C, então a diagonal do cubo é dada por:

\[
d = L\sqrt{3}
\]

Como esse diâmetro também é o diâmetro da esfera E, o raio da esfera E será:

\[
R = \frac{d}{2} = \frac{L\sqrt{3}}{2}
\]

A área da esfera E é:

\[
S = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{L\sqrt{3}}{2}\right)^2
\]

\[
S = 4\pi \cdot \frac{3L^2}{4} = 3\pi L^2
\]

Relação entre a esfera E' e o cubo C

Agora, inscrevemos uma nova esfera E' dentro do cubo C. O raio dessa nova esfera E' é simplesmente metade do lado do cubo C:

\[
R' = \frac{L}{2}
\]

Essa esfera E' será a esfera circunscrita a um novo cubo C' . O diâmetro da esfera E', que também é a diagonal do cubo C', será:

\[
L' \sqrt{3} = 2R' = 2 \cdot \frac{L}{2} = L
\]

Portanto, o lado do novo cubo C' é:

\[
L' = \frac{L}{\sqrt{3}} = \frac{L\sqrt{3}}{3}
\]

A área total do cubo C' é:

\[
A' = 6 L'^2 = 6 \left(\frac{L\sqrt{3}}{3} \right)^2
\]

\[
A' = 6 \cdot \frac{3L^2}{9} = 6 \cdot \frac{L^2}{3} = 2L^2
\]

Comparando com [tex3]\frac{2S}{3\pi}[/tex3]

\[
\frac{2S}{3\pi} = \frac{2(3\pi L^2)}{3\pi} = 2L^2
\]

Que é exatamente a área total do cubo C'.


A afirmação é verdadeira, pois a área total do cubo C' realmente é [tex3]\frac{2S}{3\pi}[/tex3]


4) Aplicando a Fórmula do Raio da Esfera Inscrita em um cone circular reto é:

\[
r = \frac{a h}{l + a}
\]

Substituímos [tex3]r = \frac{a h}{l + a}[/tex3] na expressão l r > h a :

\[
l \cdot \frac{a h}{l + a} > h a
\]

\[
l a h > h a (l + a)
\]

\[
l a h > h a l + h a^2
\]

\[
l a h - h a l > h a^2
\]

\[
0 > h a^2
\]

"h" e "a" são positivos, então h a² também é positivo.

Portanto, a desigualdade l r > h a é falsa.


5) Cada face lateral de um tronco de pirâmide regular é um trapézio isósceles congruente às outras. E o apótema é a altura desse trapézio.

A área de uma face lateral é a área do trapézio, i.e.,
S1 face = (média aritmética das bases)×(apótema)

Extrapolando para as n faces da pirâmide, a somatória da área de todos esses trapézios produz a área lateral da pirâmide, ou seja,

Slat = (média aritmética dos perímetros das bases)×(apótema)

AFIRMATIVA FALSA pois a média aritmética de dois elementos é sua soma dividido por 2 e a afirmativa esqueceu essa divisão.
(Solução:Medeiros)