ITA 1960 ⇒ Questão 05 - ITA-1960 Tópico resolvido

[JigsawMOD]

5 – Determinar [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] de modo que a identidade abaixo seja verificada. [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] não são simultaneamente iguais a zero.
[tex3]a(x-2y+z)+b(x-3y+5z)+c(5x-11y+9z)=0[/tex3]

Resposta

---

S/ GAB

[LostWalker]

Se Você Estiver Com o Olhômetro Afiado...

---

Note que, tornando [tex3]a=4k[/tex3], [tex3]b=k[/tex3] e [tex3]c=-k[/tex3], teremos:

[tex3]a(x-2y+z)+b(x-3y+5z)+c(5x-11y+9z)=0[/tex3]

[tex3]4k\cdot(x-2y+z)+k\cdot(x-3y+5z)+(-k)\cdot(5x-11y+9z)=0[/tex3]


E colocando [tex3]x,y,z[/tex3] em evidência (Além de [tex3]k[/tex3]), teremos:

[tex3]k\cdot\Big[ x(4x+x-5)+y(-4\cdot2-3+11)+z(4+5-9)\Big]=0[/tex3]

[tex3]k\cdot\Big[x\cdot0+y\cdot 0+z\cdot0\Big]=0[/tex3]

[tex3]k\cdot0=0~~~~\forall k\in\mathbb{R}[/tex3]




Algo Mais Metodológico

---

De todo modo, vamos iniciar colocando [tex3]x,y,z[/tex3] em evidência:

[tex3]a(x-2y+z)+b(x-3y+5z)+c(5x-11y+9z)=0[/tex3]

[tex3]x\cdot(a+b+5c)+y\cdot(-2a-3b-11c)+z\cdot(a+5b+9c)=0[/tex3]


O que queremos é que:

[tex3]x\cdot\underbrace{(a+b+5c)}_0+y\cdot\underbrace{(-2a-3b-11c)}_0+z\cdot\underbrace{(a+5b+9c)}_0=0[/tex3]


Que se resume à um sistema, o qual:

[tex3]0=a+b+5c\\0=-2a-3b-11c\\0=a+5b+9c[/tex3]

[tex3]0=a+b+5c\\0=2a+3b+11c\\0=a+5b+9c[/tex3]


Aqui, os métodos para resolução já se tornam vastos. Como ela é simples, principalmente por todos os sistemas zerarem, vamos aplicar sínteses

[tex3]0=a+b+5c\\0=2a+3b+11c{\color{Red}\,-\,2(a+b+5c)}\\0=a+5b+9c{\color{Red}\,-\,(a+b+5c)}[/tex3]

[tex3]0=b+c\\0=4b+4c[/tex3]


Disso, podemos tomar que [tex3]b=-c[/tex3], então, tomando que [tex3]b=k[/tex3], teremos [tex3]c=-k[/tex3] e aplicando isso em qualquer equação temos:

[tex3]0=a+b+5c[/tex3]
[tex3]0=a+k-5k[/tex3]
[tex3]a=4k[/tex3]


Assim temos: [tex3](a,b,c)=\{4k,k,-k|\forall k\neq0\}[/tex3]

essa condição de k no final é para respeitar o enunciado