ITA 1960 ⇒ Questão 03 - ITA-1960 Tópico resolvido

[JigsawMOD]

3 – Nas linhas que se seguem há o enunciado de um “teorema” e sua demonstração.
Identifique o erro e estabeleça o resultado correto.

Teorema: Seja [tex3]T(x)=ax^2+bx+c[/tex3]. Se [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] são números tais que [tex3]a.T(p)<0[/tex3] e [tex3]a.T(q)>0[/tex3] então [tex3]T(x)=0[/tex3] tem duas raízes distintas e [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] estão entre as raízes. Além disso, se [tex3]a.T(r)=0[/tex3], [tex3]r[/tex3] é necessariamente uma raíz de [tex3] T(x)=0[/tex3].

Demonstração: Para [tex3]b^2-4ac=0[/tex3], os valores de [tex3]T(x)[/tex3] diferentes de zero terão o sinal de [tex3]a[/tex3]; para [tex3]b^2-4ac<0[/tex3], todo valor numérico de [tex3]T(x)[/tex3] terá sinal igual ao de [tex3]a[/tex3]. Logo, se [tex3]T(x)[/tex3] e [tex3]a[/tex3] tem sinais opostos, só se admite a possibilidade [tex3]b^2-4ac>0[/tex3]. Nesse caso, entre as raízes é que estarão, [ILEGÍVEL], os valores de [tex3]x[/tex3] que dão a [tex3]T(x)[/tex3] sinal oposto ao sinal de [tex3]a[/tex3]. Razão análoga mostra que o número [tex3]q[/tex3] está entre as raízes. A terceira parte do enunciado é sósia.

Resposta

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S/ GAB

OBS: Na prova original há uma pequena parte [ILEGÍVEL] indicada no enunciado, ao que tudo indica essa parte é constituída de apenas uma palavra, não sei se isso poderia comprometer a RESOLUÇÃO da referida questão.

[LostWalker]

A questão nada mais é que a análise do discriminante, o que, num polinômio do segundo grau, se existe [tex3]t[/tex3] tal que [tex3]a\cdot T(t)<0[/tex3], então existe sim duas raízes reais, sendo [tex3] x_ 1 < t< x_2[/tex3].

No caso dessa questão, o erro estaria em:

Razão análoga mostra que o número q
�
está entre as raízes.

Mas o enunciado nos afirma que [tex3]a.T(q)>0[/tex3], ou seja, o correto seria dizer que [tex3]p[/tex3] é que está entre as raízes, já que [tex3]a.T(p)<0[/tex3]. [tex3]q[/tex3] acaba por se enquadrar no início da demonstração. No mais, sobre [tex3]T(r)=0[/tex3] é basicamente a definição de raiz.