ITA 1963 ⇒ Questão 07 - ITA-1963 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Demonstre que:
[tex3]\binom{m+n}{k}=\binom{m}{0}\binom{n}{k}+\binom{m}{1}\binom{n}{k-1}+...+\binom{m}{k}\binom{n}{0}[/tex3]

Resposta

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Resposta:Demonstração)

[rcompany]

Pra escolher k bolas entre um total de m bolas marrons e n bolas negras, [tex3]{m+n\choose k}[/tex3], vamos:

passo 0: escolher 0 bola marrons entre [tex3]m[/tex3] e [tex3]k[/tex3] bolas negras entre [tex3]n[/tex3]: [tex3]{m\choose 0}{n\choose k}[/tex3]
passo1: escolher 1 bola marrom entre [tex3]m[/tex3] e [tex3](k-1)[/tex3] bolas negras entre [tex3]n[/tex3]: [tex3]{m\choose 1}{n\choose k-1}[/tex3]
passo 2: escolher 2 bolas marrons entre [tex3]m[/tex3] e [tex3](k-2)[/tex3] bolas negras entre [tex3]n[/tex3]: [tex3]{m\choose 2}{n\choose k-2}[/tex3]
........
passo k: escolher k bolas marrons entre m e 0 bolas negra entre n: [tex3]{m\choose k}{n\choose 0}[/tex3]

Somando de 0 até k: [tex3]{m+n\choose k}={m\choose 0}{n\choose k}+{m\choose 1}{n\choose k-1}+...+{m\choose k}{n\choose 0}[/tex3]