Física III ⇒ (SOIF 2016) Feixe de prótons Tópico resolvido

[παθμ]

Um feixe bem colimado de prótons é produzido na forma de um cilindro de raio [tex3]R.[/tex3] A velocidade dos prótons ao longo do cilindro é [tex3]v,[/tex3] e a densidade de partículas é [tex3]\rho.[/tex3] Determine a força no próton que está no raio [tex3]r[/tex3] e discuta qualitativamente a estabilidade do feixe de prótons na ausência de colimação.

[παθμ]

Solução:

A densidade de corrente é [tex3]J=\rho q v,[/tex3] onde [tex3]q[/tex3] é a carga do próton.

A corrente que atravessa um círculo de raio [tex3]r[/tex3] centrado no centro do feixe é [tex3]I(r)=J \pi r^2=\pi \rho q v r^2.[/tex3]

Então o campo magnético no feixe é [tex3]B(r)=\frac{\mu_0 I(r)}{2\pi r}=\frac{\mu_0 \rho q v r}{2}.[/tex3]

Considerando um cilindro imaginário, concêntrico ao feixe, de comprimento [tex3]l,[/tex3] só há campo elétrico na sua parte lateral, e ele deve ser radial para fora. Então o fluxo elétrico é [tex3]2\pi r l E(r),[/tex3] além de que a carga nesse cilindro é [tex3]\pi r^2 l\rho q.[/tex3]

Lei de Gauss: [tex3]2\pi r l E(r)=\frac{\pi r^2 l \rho q}{\epsilon_0} \Longrightarrow E(r)=\frac{\rho q r}{2\epsilon_0}.[/tex3]

A força eletrostática no próton é radial para fora e igual a [tex3]qE,[/tex3] enquanto a força magnética é radial para dentro (use a regra da mão direita) e igual a [tex3]qvB.[/tex3]

Daí, a força resultante nesse próton, positiva para fora, é [tex3]F=qE-qvB=\frac{\rho q^2r}{2}\left(\frac{1}{\epsilon_0}-\mu_0 v^2\right).[/tex3]

Usando [tex3]c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \Longrightarrow \mu_0=\frac{1}{\epsilon_0 c^2},[/tex3] é possível apresentar o resultado da seguinte forma:

[tex3]\boxed{F=\frac{\rho q^2r}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}[/tex3]

Como [tex3]v < c,[/tex3] temos [tex3]F>0.[/tex3] Isso significa que, na ausência de colimação, o feixe divergirá.