Cap. 1 - Relações Métricas no Triângulo Retãngulo ⇒ Problema 24 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Na figura, a²+b² = 36m²
Calcular x.
A) 1m
B) 2m
C) 3m
D) 4m
E) 5m

Resposta

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Resposta:C

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(Fora de escala)

[FelipeMartinMOD]

Sejam [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] os extremos do segmento de medida [tex3]x[/tex3], com [tex3]M[/tex3] sobre o segmento marcado com duas bolinhas pretas e [tex3]N[/tex3] sobre o segmento marcado com os triângulos pretos.

Seja [tex3]A[/tex3] o ponto médio dos extremos do segmento de medida [tex3]a[/tex3].
Seja [tex3]B[/tex3] o ponto médio dos extremos do segmento de medida [tex3]b[/tex3].

Sejam também [tex3]P_A[/tex3] e [tex3]P_B[/tex3] os extremos do lado do triângulo retângulo com as duas setinhas, [tex3]P_A[/tex3] também é um extremo do segmento de medida [tex3]a[/tex3] e [tex3]P_B[/tex3] também é um extremo do segmento de medida [tex3]b[/tex3].
Sejam também [tex3]Q_A[/tex3] e [tex3]Q_B[/tex3] os extremos do lado do triângulo retângulo com as duas bolinhas, [tex3]Q_A[/tex3] também é um extremo do segmento de medida [tex3]a[/tex3] e [tex3]Q_B[/tex3] também é um extremo do segmento de medida [tex3]b[/tex3].

Por fim, seja [tex3]K[/tex3] o ponto tal que [tex3]P_AAMK[/tex3] seja um paralelogramo.
Então, [tex3]KM \parallel P_AA[/tex3], [tex3]KM = \frac a2[/tex3] e [tex3]KP_A \parallel AM \parallel P_AQ_B \implies K, P_A[/tex3] e [tex3]Q_B[/tex3] são colineares e mais do que isso, pois [tex3]AM = \frac{P_AQ_B}2 = P_AK[/tex3], então [tex3]K[/tex3] é ponto médio de [tex3]P_AQ_B[/tex3].

Logo, [tex3]KN \parallel BP_B[/tex3] e [tex3]KN = \frac b2[/tex3]. Pronto, basta fazer Pitágoras no [tex3]\triangle KMN[/tex3]:

[tex3]x^2 = \frac{a^2}4 + \frac{b^2}4 = \frac{a^2+b^2}4 = 9 \implies x= 3[/tex3]