Cap. 2 - Relações Métricas nos Triângulos Oblicuângulos ⇒ Problema 37 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo ABC, se AB = 7, AC = 8 e BC= 9, sobre BC se tomam os pontos M e N tal que:
BM = MN = NC.
Cacular AM² +AN².
A) 44
B) 55
C) 66
D) 77
E) 88

Resposta

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Resposta:D

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{

p_{ABC} =\frac{9+8+7}{2}=12\\
S_{ABC} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=\sqrt{720} \\
\sqrt{720} = \frac{8.BD}{2} \implies BD = \frac{\sqrt{720}}{4}=3\sqrt5\\
\triangle ABD: BD^2+AD^2 = 7^2 \implies AD^2 = 49 - 45 = 4 \therefore AD = 2 \therefore DF =FE=EC \\\\
NE^2+EC^2 =NC^2 \implies NE^2+2^2 = 3^2 \implies NE = \sqrt5 \implies MF=2\sqrt5\\
AN^2 = NE^2+ AE^2 = \sqrt5^2+6^2 =41\\
AM^2 = MF^2+AF^2 = (2\sqrt5)^2+4^2 = 36\\
\therefore \boxed{ AN^2+AM^2 = 41+36 = 77}




}[/tex3]