Cap. 4 - Problemas Adicionais ⇒ Problema 115 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Na figura mostrada calcular o tamanho do raio da circunferência inscritano triângulo MIN.
Se a, b e c são os tamanhos das flechas seno ""O" o circuncentro do triângulo ABC e "I" o incentro do triângulo ABC.~
A)[tex3]\frac{\sqrt{abc}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}[/tex3]
B)[tex3] \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}[/tex3]
C)[tex3]\frac{ab(a+b)}{c(c-a)}[/tex3]
D)[tex3]\frac{abc}{ab+bc+ac}[/tex3]
E)[tex3]\frac{{a+b+c}}{3}[/tex3]

Resposta

---

Resposta:A

[petrasMOD]

[tex3]
\mathsf{
\triangle ABC:Seja\angle A = 2A ~e~ \angle C = 2C \implies \angle A + \angle C = 45^o\\

\angle IMN = \angle CMN = \angle A = \angle IAC\\

Analogamente\angle INM = \angle C = \angle ICA \therefore \triangle MIN \sim \triangle AIC\\

\angle IAM = \angle NAM = \angle C + \angle A = 45^{\circ}\\

IM = AM = \frac{AI}{\sqrt2} \implies k =\sqrt2\\

MN = c\sqrt2\\

AM = 2c sen \angle C\\

NI=2c sen \angle A\\

sen (2A) = \frac{c-a}{c}\\
sen (2C) = \frac{c-b}c\\
\therefore sin (A) = \sqrt{\frac a{2c}}\\
AM = 2c \cdot sen (C) = \sqrt{2ac} \implies AI = 2 \sqrt{ac}\\
x \sqrt{2} = \frac{S}{p} = \frac{2S}{2p} = \frac{AI \cdot CI \cdot sen (135^{\circ})}{2p}\\
\therefore 2x = \frac{4c\sqrt{ab}}{2p} \implies x = \frac{2c\sqrt{ab}}{2c + 2\sqrt{bc} + 2\sqrt{ac}} = \boxed{\frac{\sqrt{abc}}{\sqrt a +\sqrt b + \sqrt c }}$}
[/tex3]
(Solução:FelipeMartin)