Nível I ⇒ Problema 06 - Triângulos -Vol. 2 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo escaleno se sabe que as medidas de seus três ângulos internos
são números inteiros menores que 68. Se a bissetriz de um de seus ângulos determina com o lado oposto, dois ângulos cujas medidas estão na proporção de 9 para 11.
Calcular a medida do menor ângulo do triângulo.
A) 19
B) 29
C) 39
D) 49
E) 69

Resposta

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Resposta: D

[petrasMOD]

Seja ABC triângulo e BP a bissetriz do ângulo B e P a interseção com o lado AC.
Pela proporção [tex3]∠BPA=9x∧∠BPC=11x [/tex3] e eles são suplementares;[tex3]9x+11x=180⇒x=9⇒∠BPA=81∧∠BPC=99.[/tex3]
A soma dos ângulos internos dos triángulos ABP e PBC é 180 e isto implica que [tex3]\frac{\angle B}{2}∈Z_+\therefore \angle B_{par}.[/tex3]

[tex3]A+∠BPA+\frac{\angle}{2}=180^⇒A+\frac{B}{2}=99^o (I)\\
∠BPC+C+\frac{B}{2}=180^o⇒C+\frac{\angle B}{2}=81^o(II)
[/tex3]
Testando os valores pares para o ângulo B=2,4,6,..,66, teremos as soluções para os ângulos A e C e as únicas menores que 68, são:
[tex3]\therefore \boxed{A=67, C=49, B=64}\\
\cancel{A=66, C=48, B=66}(\triangle escaleno)[/tex3]
(Solução:Delmar)