Quadriláteros - 2003 - Vol 4 ⇒ Problema 17 - Quadriláteros-Vol. 4 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um quadrado ABCD se prolonga DB até um ponto "P" e traçamos a bissetriz do ângulo APD a qual
intercepta em "E" o prolongamento de CD.
Se [tex3]\angle PAB [/tex3]= 15^o , calcular [tex3]\angle AEP[/tex3].

Resposta

---

Gabarito: A) 15^o

[rcompany]

[tex3]

1)\triangle PAC\text{ equilátero}\\
P\in (DB)\text{ bissetriz de }\angle ADC \implies PA=PC\\
M\text{ ponto médio de }[A,C]: (PM)\perp (AC)\quad \quad (PM)\text{ mediana e $(PM)$ mediatriz de $[A,C]$ já que $\triangle APC$ isósceles}\\
AC=2\cdot AM=2\cdot PA\cdot \sin\angle MAD=2\cdot PA\sin 30°=PA\\
\text{ ou sem trigonometria: }\\\angle CAP=\angle MAP=180-\angle MPA-\angle PMA=60°\implies \angle MCP=60°\quad(\triangle APC \text{ isósceles})\implies \angle APC=60º\\
\therefore \triangle APC\text{ equilátero}\\
2)\triangle PAC\equiv \triangle EAI:\\
I\mid \angle IAP=90°\text{ e }AI=PA\\
E'\mid \triangle AE'I \equiv\triangle PAC\\
H\mid PH=PA \text{ e }H\in (PB)\\
J\text{ ponto médio de }[A,H]\\
\triangle PAH \text{ isósceles}\implies J\in (PE)\text{ e }(PE)\perp (AH)\implies \triangle EAH\text{ isósceles}\\
H'\mid H'\in(E´H)\text{ e }E'H'=E'A\\
(AH')\perp (PE)\text{ e }(AH)\perp (PE)\implies (AH)=(AH')\implies H'=H\\
\text{ ou seja }\triangle E'AH \text{ isósceles}\\
\text{ e temos }E'\in (EI)\\
\triangle AE'C \text{ isósceles}\implies (AB)\perp (CE')\implies E'\in(CE)\\
E'\in (PE)\cap(CE)\implies E=E'\\
\triangle PAC \equiv \triangle EAI\\
3) \angle PEA=15°:\\
N\text{ ponto médio de }[A,I]: \triangle AEI \text{ equilátero }\implies (AN) \text{ bissetriz de }\angle IEA\text{ i.e }\angle NEA=30°\\
\text{e já que }\angle HEA=30°\quad (\triangle PAH,\triangle AEH\text{ isósceles e }PA=PE\implies \triangle PAH\equiv \triangle AEH)\\
\text{temos }N\in(EH)\\
\angle NEA=\angle APM=30°\\
(EJ)\text{ bissetriz de }\angle HEA\implies \angle PEA=15°
[/tex3]

[petrasMOD]

@rcompany MUito bom..menos um da lista