Áreas de Regiões Poligonais e Circulares - 2003 - Vol. 10 ⇒ Problema 58 - Áreas -Vol. 10 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Se "P" e "Q" são pontos de tangência, r1 = 3u e r2 = 4u, calcular a área da região sombreada.
I1 = incentro do triângulo ABH
I2 = Incentro do triângulo HBC

*P e Q são pontos de tangência*

Resposta

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Gabarito: D) 116, 91 m²(Creio que esteja errado)

[geobson]

Consegui até agora calcular a área do triângulo ABC e a hipotenusa e altura dele……..

[geobson]

Não sei se ajuda, mas acredito ser informação pertinente….

viewtopic.php?t=111971

[geobson]

……………..não sei se o cálculo aproximado dá o resultado do gabarito…

[petrasMOD]

@geobson
Tem valores errados nos seus cáclulos ..por exemplo MN,,

Segue uma figura para ajudar...tem muitos triangulos semelhantes

Os lados do triângulo ABC é tranquilo calcular;;

[tex3]\triangle ABC \sim BHC: \frac{3}{12}=\frac{4}{CH} \therefore CH = 16\\
\triangle ABC: 12^2 = AH.CH =AH.16 \therefore AH = 9\\
\triangle ABH: AB^2= BH^2+AH^2 = 12^2+9^2 \implies AB = 15\\
\triangle HBC: BC^2=BH^2+HC^2 = 12^2+16^2 \implies BC = 20 [/tex3]

[petrasMOD]

Seja [tex3]O=PQ\,\cap HB[/tex3]. Trace a altura HH' sobre MN e BB' sobre PQ.
Seja I o incentro do triÂngulo ABC e r o inraio do mesmo
[tex3]r^2 = 3^2+4^2 \implies r = 5 \therefore BQ \cong BP = 5 \\
HB = r_2+2.r_2 = 4+2.4= 12\\
\angle BQP \cong \angle BPQ = 45^o [/tex3]

DIstribuindo os ângulos
[tex3]
\triangle POB\sim \triangle HOF\implies \angle HFO=\angle PBO=\angle ACB\equiv\gamma.\\
\therefore \triangle EHF\sim \triangle MHN\sim\triangle ABC.[/tex3]

A área será dada por:
[tex3][MEFN]=[MNH]-[FHE]\\
\frac{[MHN]}{[FHE]}=(\frac{HH'-BB'}{HH'})^2 \implies [FHE] = [MHN](\frac{HH'-BB'}{HH'})^2 \\
\therefore [MEFN]=[MHN]\left(1-\left(\frac{HH'-BB'}{HH'}\right)^2\right)\\
=[ABC]\frac{HH'^2-(HH'-BB')^2}{HB^2}\\
=[ABC]\frac{BB'(2HH'-BB')}{HB^2}\\
[/tex3]

COm [tex3]BQ=5, HB=12, BB'=BQ\cdot\cos\frac\pi4\\ HH'=HB\cdot\cos(\frac\pi4-\gamma)\\
^*cos(\frac{\pi}{4}-\gamma) =cos\frac{\pi}{4}.cos \gamma+sen 45^o sen \gamma=\frac{\sqrt2}{2}(cos\gamma+sen \gamma) = \frac{1}{\sqrt2}(cos \gamma+sen\gamma) \\
sen \gamma = \frac{HB}{BC} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\\
cos \gamma = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}[/tex3]
O numerador será
[tex3]\frac5{\sqrt2}\Big(2\cdot12\cdot\frac1{\sqrt2}(\cos\gamma+\sin\gamma)-\frac5{\sqrt2}\Big)
=\frac52\Big(24\Big(\frac35+\frac45\Big)-5\Big)=\frac{143}2\\
\therefore {[MEFN]=[ABC]\frac{143}{288}} = \frac{25.12}{2}.\frac{143}{288}=\frac{3575}{48} \approx \boxed{74,48}[/tex3]
(Solução:user - adaptada)