Cap.1 - Potência de um Ponto ⇒ Problema 01 - Potência de Ponto -Vol. 9 Tópico resolvido

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Nova jornada...Poligonos Regulares - 50 questões

No triângulo ABC, se AB = 6, BC = 7 e AC = 8, calcular a potência do vértice B em relação ao centro O
da circunferência inscrita em ABC.

Resposta

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Gabarito: [tex3]\frac{25}{4}[/tex3]:Resposta incorreta do livro B) 4

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[tex3]p_{ABC} = \frac{6+7+8}{2}=\frac{21}{2}[/tex3]
[tex3]S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{21}{2}(\frac{21}{2}-6)(\frac{21}{2}-7) (\frac{21}{2}-8) } = \frac{21\sqrt{15}}{4}
\\S_{ABC} = pr \implies r =\frac{\frac{21\sqrt{15}} {4} } { \frac{21}{2} } = \frac{\sqrt{15}}{2} [/tex3]

Lei dos Cossenos no [tex3]\triangle ABC[/tex3]:


[tex3]b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\\
8^2 = 7^2 + 6^2 - 2(7)(6) \cos B \implies cos B = \frac{1}{4}[/tex3]
[tex3] BI = \frac{r}{\sen(\frac{B}{2})}[/tex3]
[tex3]\cos B = 1 - 2\sen^2(\frac{B}{2})\\
\frac{1}{4} = 1 - 2\sen^2(\frac{B}{2})\implies sen (\frac{B}{2})=\frac{\sqrt{6}}{4}\\
\frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{6}} \implies
BI = \sqrt{10}[/tex3]
[tex3]P_B = BI^2 - r^2\\
BI^2 = (\sqrt{10})^2 = 10\\
r^2 = \left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2 = \frac{15}{4}\\
\therefore P_B = 10 - \frac{15}{4} = \frac{40}{4} - \frac{15}{4} = \boxed{\frac{25}{4}}[/tex3]