Cap.1 - Potência de um Ponto ⇒ Problema 07 - Potência de Ponto -Vol. 7 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo ABC,[tex3] \angle B = 90^o [/tex3]
I = incentro
Se AI =[tex3]\sqrt{13}m[/tex3] e IC = 2[tex3]\sqrt{26m}[/tex3]
calcular a PotB(I).

Resposta

---

Gabarito: D) 4m²

[geobson]

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[petrasMOD]

* I: incentro
* [tex3]AI = \sqrt{13}[/tex3]
* [tex3]IC = 2\sqrt{26}[/tex3]
* AC = 13 calculado pelo teoremados cossenos

Traçamos IH = r, altura do incentro até AC

Pitágoras em[tex3] \triangle AIH[/tex3]
[tex3]
AH^2 + r^2 = AI^2 = 13
\quad \text{(I)}
[/tex3]

Pitágoras em [tex3]\triangle CIH[/tex3]:

[tex3]
CH^2 + r^2 = IC^2 = 104
\quad \text{(II)}
[/tex3]

AH + CH = AC = 13
[tex3]
CH = 13 - AH
[/tex3]

Substituindo CH = 13 - AH em (II):

[tex3]
(13 - AH)^2 + r^2 = 104
\quad \text{(II')}
[/tex3]


(I):
[tex3]
AH^2 + r^2 = 13
\Rightarrow r^2 = 13 - AH^2
\quad \text{(III)}
[/tex3]

Substitua isso em (II'):

[tex3]
(13 - AH)^2 + (13 - AH^2) = 104 \implies AH = 3
[/tex3]

[tex3]
AH^2 + r^2 = 13 \Rightarrow 9 + r^2 = 13 \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow \boxed{r = 2}
[/tex3]

Portanto:

[tex3]
\text{Pot}_B(I) = BI^2 - r^2 = (r\sqrt2)^2 - r^2 = r^2 = \boxed{4}
[/tex3]