Cap.2 - Eixo Radixal ⇒ Problema 14 - Eixo Radical -Vol. 2 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo ABC, H é o ortocentro, o centro radical das circunferências que tem a BC,
BH e VC como diãmetro é o ..... do triângulo ABC.

a) Vértice A
b) Vértice B
c) Vértice C
d0 Não tem eixo radical
e)N.A

Resposta

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Gabarito: A)

[petrasMOD]

A potência de um ponto P com relação a uma circunferência com diâmetro XY é:

[tex3]
\text{Pot}(P, \text{circunf. com diâm. } XY) = PX \cdot PY
[/tex3]

Queremos encontrar um ponto que tenha **mesma potência** em relação às **três circunferências** citadas.


Seja o ponto A. Vamos analisar sua **potência** com relação a cada uma das três circunferências:

1. Com relação à circunferência de diâmetro BC:

[tex3]
\text{Potência de } A = AB \cdot AC
[/tex3]

2. Com relação à circunferência de diâmetro $BH$:

[tex3]
\text{Potência de } A = AB \cdot AH \quad \text{(pois \( H \) está na altura relativa a \( A \))}
[/tex3]

3. Com relação à circunferência de diâmetro CH:

[tex3]
\text{Potência de } A = AC \cdot AH
[/tex3]

Se fizermos a **diferença entre as potências**, a única maneira de elas serem **todas iguais** em relação às três circunferências é se o ponto A **tiver a mesma potência** com relação a cada uma delas.


A potência de A na circunferência de diâmetro BH é AB [tex3]\cdot[/tex3] AH
Na de CH, é AC [tex3]\cdot[/tex3] AH

Então:

[tex3]
AB \cdot AH = AC \cdot AH \Rightarrow AB = AC \quad \text{(o que só ocorre se o triângulo for isósceles, em geral não é)}
[/tex3]

Mas veja que a única maneira de o ponto A estar **em todos os eixos radicais** das circunferências (por pares) é se for o ponto com **mesma potência em relação às três**..


O vértice A do triângulo ABC é o **centro radical** das três circunferências com diâmetros BC, BH, e CH.

[tex3]
\boxed{\text{a) Vértice A}}
[/tex3]