Proporcionalidade e Semelhança - 2003 - Vol. 7 ⇒ Problema 32 - Proporcionalidade e Semelhança -Vol. 7 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo ABC traçamos a bissetriz interna BD e se toma
o ponto médio F de BD. Traçamos FM e FN paralelas a AB e AC
(MN em BC). Se AB = 20m e BM = 3m, calcular MN.

Resposta

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Gabarito: A) [tex3]\frac{9m}{7}[/tex3]

[petrasMOD]

Traçar paralela a EM por D sendo I interseção com BC

F é ponto médio de BD

[tex3]\therefore IM=BM = 3\\
\triangle BDI: DI = 2FM\\
\angle DBC = \theta = \angle DBA =\angle FMN\\
\therefore \triangle MFB_{(isosc)} \implies BM = MF = 3\\
\therefore DI = 2FM = 2.3 = 6\\
\triangle CID \sim \triangle CBA: \frac{6}{20} = \frac{CI}{CI+6} \implies CI =\frac{18}{7} \implies BC = \frac{60}{7}\\
\triangle BDC \sim \triangle BFN: \frac{3+x}{\frac{60}{7}} = \frac{BF}{BD} = \frac{BF}{2BF} = \frac{1}{2}\\
6+2x = \frac{60}{7} \implies 42+14x = 60 \therefore \boxed{x = \frac{9}{7}}
[/tex3]