Vol. 09 - Geometria Plana FME 2004 ⇒ 363 - FME 09 -Teste de Vestibulares Tópico resolvido

[petrasMOD]

(U.F.MG-90) Na figura, AB é o diâmetro do círculo de centro O e C é um ponto da circunferência tal que o ângulo ABC mede 30°. Se AB = 6 cm, a área da região limitada pelas cordas BC e AB e pelo arco menor AC, em cm², é:

a)[tex3]\frac{9\sqrt3}{2}+\frac{3\pi}{4}[/tex3]
b) 9[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{9\sqrt3}{4}+\frac{3\pi}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{9\sqrt3}{4}+6\pi[/tex3]
e) [tex3]\frac{3\pi}{4}[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: c)

[rcompany]

[tex3]x\text{ a área procurada}\\
x=A(\overset{\frown}{BOC})+A(\triangle AOC)\\
\angle CAB=30°\implies \angle COB=60°\implies \triangle OBC\text{ equilátero já que }OB=OC=3\\
\angle COB=60°\implies A(\overset{\frown}{BOC})=\frac{1}{6}\pi\cdot (\frac{AB}{2})^2=\frac{3}{2}\pi\\
H \text{ o pé da altura oriunda de $C$ em }\triangle AOC\\
CH\text{ também altura em }\triangle COB: CH=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\therefore A(\triangle AOC)=\frac{1}{2}AO\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}\\
x=A(\triangle AOC)+A(\overset{\frown}{BOC})=\frac{3}{2}\pi+\frac{9\sqrt{3}}{4}\\
\fbox{$\quad$resposta c$\quad$}[/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]\angle AOC_{central} = 60^o\\
S_{setorAOC} = \frac{\pi r^2}{6} = \frac{\pi3^2}{6} = \frac{3\pi}{2} \\
S\triangle BOC:\frac{1}{2}.r.r.sem120^o = \frac{9}{2}.\frac{\sqrt3}{2}=\frac{9\sqrt3}{4}\\
\therefore \boxed{S_S = \frac{3\pi}{2} + \frac{9\sqrt3}{4}} [/tex3]