Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 030 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(FGV-SP) Na figura, AN e BM são medianas do triângulo ABC, e ABM é um triângulo equilátero cuja medida do lado é 1.
A medida do segmento GN é igual a

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a) [tex3]\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{7}}{6}[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{6}}{6}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: d)

[petrasMOD]

O ponto G é baricentro do triângulo ABC e, portanto, [tex3]GM = \frac{1}{3}. BM = \frac{1}{3}. 1 = \frac{1}{3} [/tex3]
[tex3]\triangle MNC \sim \triangle ABC[/tex3]: k = 1:2, temos: [tex3]MN =\frac{AB}{2} = \frac{1}{2} ~e~\angle NMC = \angle BAC = 60^o [/tex3]
[tex3]\triangle MNG:GN^2=(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{2})^2=2.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}(cos60^o ) \implies \boxed{GN=\frac{\sqrt7}{6}}[/tex3]