Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 029 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(FGV-SP) Seja ABCD um quadrado, e P e Q pontos médios de BC e CD, respectivamente. Então, sen[tex3]\beta [/tex3] é igual a

a) [tex3]\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3}{5}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{10}}{5}[/tex3]
d) [tex3]\frac{{4}}{5}[/tex3]
a) [tex3]\frac{{5}}{6}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: b)

[rcompany]

[tex3]\text{Sem perda de generalidade vamos definir }AB=1\\
AP=AQ=\sqrt{AB^2+BP^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\
\text{Em }\triangle CPQ:\,PQ=\sqrt{CP^2+CQ^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\text{Lei dos cossenos em }\triangle APQ:\\
PQ^2=2\cdot AP^2-2AP^2\cos\beta=2AP^2(1-\cos \beta)\implies \frac{1}{2}=2\cdot (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 \cdot(1-\cos \beta)\\
\implies \cos \beta=\frac{4}{5}\implies \sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}\\
\\\fbox{$\quad$resposta b$\quad$}[/tex3]