Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 078 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(UE-CE) A medida do perímetro do triângulo retângulo cujas medidas dos raios das circunferências inscrita e circunscrita são, respectivamente, 2 m e 6,5 m é

a) 21 m
b) 24 m
c) 28 m
d) 30 m

Resposta

---

Gabarito: d)

[ProfLaplace]

Sendo c a hipotenusa, o raio da circunferência inscrita ao triângulo retângulo pode ser calculado pela fórmula
[tex3]r=\frac{a+b-c}{2}.[/tex3]
Como [tex3]r=2[/tex3], segue-se que [tex3]a+b-c=4.[/tex3]

Já o raio da cirfunferência circunscrita equivale à metade da hipotenusa:
[tex3]R=\frac{c}{2} \Rightarrow c=2R \Rightarrow c=13.[/tex3]

[tex3]a+b-13=4 \Rightarrow a+b=17.[/tex3]

Logo [tex3]a+b+c=17+13=30.[/tex3]
Isto é, o perímetro mede 30 m.
Alternativa D.

[rcompany]

[tex3]\text{$a,b$ os catetos, $c$ a hipotenusa, $p$ o semiperímetro, $S$ a área, $r$ o inraio e $R$ o circunraio}\\
R=6,5\implies c=13 \text{ já que num triângulo retângulo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa}\\
(a+b+c)^2=(2p)^2=4p^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\\\
\begin{array}{rl}4p^2=&2c^2+2ab+2ac+2bc\text{ já que $c^2=a^2+b^2$}\\
=&2c^2+4pr+2c(a+b)\text{ já que $S=pr$ e $S=\dfrac{ab}{2}$}\\
=&2c^2+4pr+2c(2p-c)\text{ já que 2p=a+b+c}\\
=&4p(r+c)\\\end{array}\\
\therefore p=r+c=2+13=15\text { e }2p=30


[/tex3]