Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 290 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(Enem-MEC) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

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A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde:

a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.

Resposta

---

e)

[Atendimento]

Esquematizando:

O interessante aqui é que não é necessário realizar contas, apenas utilizar o raciocínio lógico e abstrato. A primeira coisa a se fazer neste caso é notar que os pontos P, M e N são médios do triângulo retângulo como um todo.

O segundo passo, agora, é traçar uma diagonal que vai de A até o ponto médio M. Neste caso o novo [tex3]\triangle AMN[/tex3] possui mesma medida ao [tex3]\triangle MNC [/tex3], percebemos que os triângulos compartilham a mesma altura, sendo a referida [tex3]\overline{MN}[/tex3], logo, se possuem a mesma medida, possuem também a mesma área.

Agora tracemos novamente um novo segmento unindo os pontos médios em [tex3] \overline{PM}[/tex3]. Notamos que os novos triângulos [tex3]\triangle PMA[/tex3] e [tex3]\triangle BPM[/tex3] são semelhantes ao [tex3]\triangle MNC[/tex3]

"Isolando" os triângulos formados para a área "concretada" temos visualmente que três deles equivalem a área do triângulo pretendido, logo os triângulos unidos possuem o triplo de medida de [tex3]\triangle MNC[/tex3]

[rcompany]

[tex3]
\text{Tales em $\triangle ABC$: $M,N$ pontos médios de $BC,AC$}\implies \frac{CB}{CM}=\frac{CA}{CN}=\frac{AB}{MN}=2\\
\implies S(\triangle CAB)=2^2S(\triangle CNM)=4S(\triangle CNM)\\
S(ABMN)=S(CAB)-S(CNM)=3S(CNM)\\
\\\fbox{$\quad$resposta e$\quad$}
[/tex3]