Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 288 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(Unifesp-SP) Na figura, os triângulos ABD e BCD são isósceles. O triângulo BCD é retângulo, com o ângulo C reto, e A, B, C estão alinhados.

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a) Dê a medida do ângulo BÂD em graus.
b) Se BD = x, obtenha a área do triângulo ABD em função de x.

Resposta

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Gabarito:a) 22,5^o b) [tex3]\frac{x^2\sqrt2}{4}[/tex3]

[rcompany]

[tex3]
\triangle BCD\text{ isósceles em $C$ e $\angle BCD=90°$}\implies \angle BDC=\angle CBD=90-\frac{\angle DCB}{2}=90-\frac{90}{2}=45°\\
\angle DBA=180-\angle CDB=180-45=135°\\
\triangle BAD\text{ isósceles em $B$}\implies \angle ADB=\angle BAD=90-\frac{\angle DBA}{2}=90-67,5=22,5°\\

\boxed{\angle BAD=22,5°}
\\
\text{Lei do senos em $\triangle ABD:$ }\\
\frac{AD}{\sin(\angle DBA)}=\frac{AD\cdot AB\cdot BD}{2S}\implies S=\frac{AB\cdot BD\cdot \sin135°}{2}=x^2\frac{\dfrac{\,\,\,{1}\,\,}{\sqrt{2}}\,\,\,\,}{2}\text{ já que AB=BD}=\frac{x^2\sqrt{2}}{4}\\\\
\boxed{S=\frac{x^2\sqrt{2}}{4}}\\
[/tex3]