Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 292 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(Fuvest-SP) O triângulo ABC da figura abaixo é equilátero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos AFE e CGF são retos e a medida do segmento AF é x.

Assim, determine:
a) A área do triângulo AFE em função de x.
b) O valor de x para o qual o ângulo FÊG também é reto.

Resposta

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Gabarotp: a)[tex3]\frac{x^2\sqrt3}{2}[/tex3]; b) [tex3]\frac{1}{5}[/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{
a)\\
\triangle AEF: tg 60^o = \frac{EF}{x} \implies EF = x\sqrt3 \\
\therefore S_{AFE} = \frac{AF.EF}{2} = \frac{x.x\sqrt3}{2} = \boxed{\frac{x^2\sqrt3}{2}}\\
b)\\
\triangle AFE: (AE)^2 = (AF)^2+(EF)^2=x^2+(x\sqrt3)^2 =4x^2 \therefore AE = 2x\\
BE = AB-AE = 1-2x\\
\triangle GEB_{(equil)} \implies EG = BE = 1-2x\\
\triangle FGE:tg30^o = \frac{EF}{EG} \implies \frac{\sqrt3}{3} = \frac{x\sqrt 3}{1-2x} \implies \boxed{x = \frac{1}{5}}
}[/tex3]

(SOlução:Objetivo)

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