Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 341 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(Fuvest-SP) A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que AB = 4, CD = 2 e AC = 3[tex3]\sqrt{2}[/tex3].

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a) Determine a altura do trapézio.
b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito.
c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência.

Resposta

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Gabarito: a)h=3; b) r=[tex3]\sqrt{5}[/tex3]; c) S = 5[tex3]\pi -9[/tex3]

[rcompany]

[tex3]
ABDC \text{ cíclico}\implies ABCD\text{ isósceles}\\
H\text{ a projeção ortogonal de $ $ em $(AB)$ }\\
CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{18-9}=3\\
AH=CH=3\text{ e }\angle CHA=90º\implies \angle HCA=\angle HAC=45°=\angle BAC\\
\angle BAC=45°\implies \angle BOC=90°\text{ (ângulo no cemtro)}\\
\implies 2OB^2=BC^2\quad(1)\\
P\text{ intersecção das diagonais de $ABCD$}: \frac{AB}{CD}=2\implies AP=2PC\text{ e }BD=2PD\implies PC=PD=\sqrt{2}\text{ }AP=BP=2\sqrt{2}\\
\text{ e então }AD=BC=\sqrt{BP^2+PC^2}=\sqrt{10}\\
\therefore (1) \implies OB=\sqrt{5}\\
S(ABCD)=\frac{AB+CD}{2}\cdot CH=9\\
S(\mathcal{C})=\pi\cdot OB^2=5\pi\\
S(\mathcal{C})-S(ABCD)=5\pi-9


[/tex3]