Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 380 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(UF-ES) Admita que a área da região originalmente ocupada pela mata Atlântica corresponda a 19% da área de todo o território brasileiro. Podemos considerar o território brasileiro como um triângulo equilátero de igual área, e a região originalmente ocupada pela mata Atlântica como um trapézio de área equivalente (veja figura abaixo). Se l é o lado do triângulo, então a altura h do trapézio é:

a) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{20}l[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{19}l[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{20}l[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{19}l[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{10}l[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: c)

[petrasMOD]

A figura mostra um triângulo equilátero maior (ABC) e um triângulo equilátero menor (ADE) no seu topo. O trapézio (BCDE) é a área restante.

A área do triângulo maior (Área_{ABC}) é a soma da área do trapézio e da área do triângulo menor.
[tex3]Área_{ABC} = Área_{BCDE} + Área_{ADE}[/tex3]

Sabemos que a área do trapézio é 19% da área do triângulo maior:
[tex3]Área_{BCDE} = 0,19 \cdot Área_{ABC}[/tex3]

Isso significa que a área do triângulo menor (ADE) deve ser o restante, ou seja, 100% - 19% = 81% da área do triângulo maior:
[tex3]Área_{ADE} = Área_{ABC} - 0,19 \cdot Área_{ABC} = 0,81 \cdot Área_{ABC}[/tex3]

A área de um triângulo equilátero é diretamente proporcional ao quadrado de seu lado. A razão entre as áreas dos dois triângulos é igual à razão entre os quadrados de seus lados.

Se L é o lado do triângulo maior (ABC) e s é o lado do triângulo menor (ADE), temos:
[tex3]\frac{Área_{ADE}}{Área_{ABC}} = \frac{s^2}{L^2}[/tex3]

Substituindo a relação de áreas que encontramos:
[tex3]0,81 = \frac{s^2}{L^2}\\
s^2 = 0,81 \cdot L^2\\
s = \sqrt{0,81 \cdot L^2}= 0,9 L[/tex3]

A altura do trapézio (h) é a diferença entre a altura do triângulo maior e a altura do triângulo menor.

* Altura do triângulo maior [tex3](ABC): H_{ABC} = \frac{L\sqrt{3}}{2}[/tex3]
* Altura do triângulo menor [tex3](ADE): H_{ADE} = \frac{s\sqrt{3}}{2}[/tex3]

A altura do trapézio (h) é:
[tex3]h = H_{ABC} - H_{ADE}= \frac{L\sqrt{3}}{2} - \frac{s\sqrt{3}}{2}
[/tex3]

Agora, substituímos o valor de s que encontramos na etapa 2 (s = 0,9 L) na equação da altura do trapézio:
[tex3]h = \frac{L\sqrt{3}}{2} - \frac{(0,9L)\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}(L - 0,9L) = \frac{\sqrt{3}}{2}(0,1L)\\
h = \frac{0,1 \cdot L\sqrt{3}}{2} = \boxed{\frac{L\sqrt{3}}{20}}
[/tex3]