Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 011 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em uma reta se marcam os pontos consecutivos G, R, E, T, A tal que:
x = [tex3]\frac{1}{GA}+\frac{1}{RT}[/tex3]
Calcular : 16x
Sendo: GA . RT = RT + GE + RA + GT + EA

Resposta

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Gabarito: 8

[petrasMOD]

Seja a posição inicial de G = 0 e r, e, t, a as distâncias de R, E, T, A a G, respectivamente.
GA = a
RT = t-r
GE = e
RA = a-r
GT = t
EA = a-e

Substituindo na segunda equação:
[tex3]a \cdot (t-r) = (t-r) + e + (a-r) + t + (a-e)\\
a(t-r) = t - r + e + a - r + t + a - e\\
a(t-r) = 2t - 2r + 2a\\
a(t-r) = 2(t-r + a)
[/tex3]
Agora, substituímos as variáveis pelas expressões dos segmentos novamente:
[tex3]GA \cdot RT = 2(RT + GA) = 2GA+2RT[/tex3]
[tex3]x = \frac{1}{GA} + \frac{1}{RT}[/tex3] dividimos a identidade inteira por (GA . RT):
[tex3]\frac{GA \cdot RT}{GA \cdot RT} = \frac{2GA}{GA \cdot RT} + \frac{2RT}{GA \cdot RT}\\
1 = \frac{2}{RT} + \frac{2}{GA} = 2 \left(\underbrace{ \frac{1}{RT} + \frac{1}{GA}}_x \right)= 2x \\\therefore x = \frac{1}{2}\\16x = 16 \cdot \frac{1}{2} = \boxed{8}[/tex3]