Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 014 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre uma linha reta se marcam os pontos consecutivos B, O, L, A tal que:
[tex3]\frac{1}{BO}=\frac{1}{BL}+\frac{1}{BA}[/tex3]. Calcular "x" sabendo que [tex3]x = \frac{8.OL.OA}{BO^2}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: 8

[petrasMOD]

Os pontos B, O, L e A são consecutivos na linha reta. Isso nos dá as seguintes relações entre os segmentos:
BL = BO + OL
BA = BO + OA
Substituindo: [tex3]\frac{1}{BO} = \frac{1}{BL} + \frac{1}{BA}\\
\frac{1}{BO} = \frac{1}{BO+OL} + \frac{1}{BO+OA}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{BO} = \frac{(BO+OA) + (BO+OL)}{(BO+OL)(BO+OA)} = \frac{2BO + OA + OL}{(BO+OL)(BO+OA)}\\
(BO+OL)(BO+OA) = BO(2BO + OA + OL)\\
\therefore BO^2 + ~\cancel{BO \cdot OA} + \cancel{OL \cdot BO} + OL \cdot OA = 2BO^2 + \cancel{BO \cdot OA} +\cancel{ BO \cdot OL}\\
BO^2 + OL \cdot OA = 2BO^2 \implies
OL \cdot OA = 2BO^2 - BO^2
\\ \therefore OL \cdot OA = BO^2[/tex3]
[tex3]
x = \frac{8 \cdot OL \cdot OA}{BO^2}= \frac{8 \cdot (BO^2)}{BO^2} \therefore \boxed{O=8}[/tex3]