Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 024 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre uma reta se determinam segmentos consecutivos de longitudes
[tex3]\frac{1}{4} ; \frac{1}{28} ; \frac{1}{70} ; \frac{1}{130}; \frac{1}{208}; ...[/tex3]
e assim sucessivamente. Calcular a soma limite de seus comprimentos.

Resposta

---

Gabarito: [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

[petrasMOD]

Denominadores: 4, 28, 70, 130, 208, ...
28 - 4 = 24
70 - 28 = 42
130 - 70 = 60
208 - 130 = 78
As diferenças formam uma progressão aritmética: 24, 42, 60, 78, ... com razão 18.

Os denominadores podem ser fatorados da seguinte forma:
4 = 1 . 4
28 = 4 . 7.
70 = 7 . 10
130 = 10 . 13
208 = 13 . 16
(1, 4), (4, 7), (7, 10), (10, 13), (13, 16), ...
O primeiro fator de cada par é 1, 4, 7, 10, 13, ..., que é uma progressão aritmética com primeiro termo 1 e razão 3. portanto aⁿ = 1 + (n-1)3 = 3n-2.
O segundo fator de cada par é 4, 7, 10, 13, 16, ..., que é uma progressão aritmética com primeiro termo 4 e razão 3. Portanto a_n = 4 + (n-1)3 = 3n+1.

[tex3]a_n = \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}\\
1 = A(3n+1) + B(3n-2) \implies 1=(3A+3B)n+(A−2B)
[/tex3]
Para que essa equação seja verdadeira para todos os valores de n, os coeficientes de cada potência de n em ambos os lados devem ser iguais. No lado esquerdo, temos 1, que é o termo constante, e o coeficiente de n é 0.
Coeficiente de n: 3A+3B=0⟹A+B=0
Termo constante: A−2B=1
Resolvendo este sistema, obtemos:[tex3]B=−\frac{1}{3} ~e ~A = \frac{1}{3}[/tex3]

Assim, o termo geral pode ser reescrito como:
[tex3]a_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)\\
S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)[/tex3]
Esta é uma série telescópica. Vamos calcular a soma parcial dos primeiros N termos:
[tex3]3S_N = \left(1 - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{3N-2} - \frac{1}{3N+1}\right)[/tex3]
Os termos intermediários se cancelam, restando apenas o primeiro e o último:
[tex3]3S_N = 1 - \frac{1}{3N+1}[/tex3]

A soma limite, S, é o limite da soma parcial quando N tende ao infinito:
[tex3]S = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3N+1} \right)[/tex3]
Quando N tende ao infinito, [tex3]\frac{1}{3N+1} [/tex3]tende a zero.
[tex3]S = \frac{1}{3} (1 - 0) =\boxed{ \frac{1}{3}}[/tex3]