Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 054 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Do gráfico calcular "x", se AC = 10 e AM + MN = 8.

Resposta

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Gabarito: 37^o

[rcompany]

[tex3]\text{Traça-se a reta $(CD)$, com $D$ em $(AB)$, tal que $(CB)$ seja bissetriz de $\angle NCD$ }\\
E\text{ a intersecção de $(AM)$ com $(CD)$}\\
\angle BCD=\theta\text{ e }\angle DBC=\frac{\pi}{2}\implies \angle CDB=\frac{\pi}{2}-\theta\\
\angle DAE=\theta\text{ e }\angle EDA=\frac{\pi}{2}-\theta\implies \angle AED=\frac{\pi}{2}\\
\therefore \triangle CNM\equiv\triangle CEM\\
\text{temos então }MN=ME,\text{ ou seja }AE=8\\
AE=8,AC=10,\angle CEA=\frac{\pi}{2}\implies \cos (\angle EAC)=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\implies \angle EAC=\arccos(\frac{4}{5})\approx37°\\
(\triangle AEC\text{ pitagórico 3-4-5})\\
\\\fbox{$\quad x\approx37°\quad$}


[/tex3]

[petrasMOD]

Outra forma

Prolongando AM e traçando uma perpendicular a MC desde N

Como os triângulos retângulos △MBA e △MNC são semelhantes se deduz que MC é bisectriz de ∠PMN e portanto mediatriz de NP, de onde: AP=8 e assim no triângulo retângulo △APC:
[tex3]cos(x)=\frac{4}{5}⟹x=arccos(\frac{4}{5})≈37^o[/tex3]