Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 104 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Se tem um triângulo acutângulo ABC. Interiormente, um ponto P é localizado, tal que AP = 8, e a medida do ângulo ABP é igual à medida do ângulo PBC. Encontre o valor máximo inteiro da medida do ângulo APC se PC assume seu valor mínimo inteiro e a medida do ângulo BAP = 30º.

Resposta

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Gabarito; 172^o

[petrasMOD]

∠ABP=∠CBP=α,∠APC=β,∠BCP=γ,
β=γ+2α+30∘.
Pelo teorema do seno: [tex3]\frac{BP}{sen30∘}=\frac{8}{senα} \implies BP = \frac{4}{sen\alpha}\\
\frac{BP}{senγ}=\frac{PC}{senα} \implies PC=\frac{4}{senγ}[/tex3].
Como [tex3]0 < γ < 90^∘⟹4 < \frac{4}{senγ}(=PC) \therefore PC=5. [/tex3]
Assim, γ=53∘ de onde β=2α+83∘.
0 < 2α < 90∘ ⟹ β < 173∘. Por tanto, β=172∘

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(Solução:Anipascual)