Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 122 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Calcular PN_max:

Resposta

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Gabarito: 19

[cajuADMIN]

Fiz a construção no Geogebra, e na tentativa e erro tá dando 20 em vez de 19.

Verifiquem minha construção aqui, o que está errado?

https://www.geogebra.org/calculator/rddydxcv

[petrasMOD]

@cajuADMIN,
Segue solução:

A intersecão do prolongamento do segmento que vale 2 com o lado que vale 12 é o circuncentro do triángulo retángulo (ΔOAB é isósceles: OB=OA = raio)
Por tanto CO=6−2=4, e como OB∥AP (já que ∠BON=2θ) AP=8. Portanto o máximo se dará quando ∠BNA=0 e PN=AN+PA=20.
ou.
Quando 2θ=180∘ [tex3]\rightarrow [/tex3] cos(2θ)=−1 de donde
PN²=8²+12²−2⋅8⋅12⋅cos(2θ)=400⟹PN_max=20
(Solução:Pie/AnniPascual)

[cajuADMIN]

Olá, @petrasMOD.

Como concluir que o prolongamento do segmento que vale 2 passa pelo centro do círculo (ponto médio de AN)? Acho que faltou essa demonstração...

[cajuADMIN]

ah, peguei!!! A demonstração é o que está entre parênteses... achei que os parênteses era uma conclusão e não uma demonstração! Entendido!

[petrasMOD]

@cajuADMIN,

Se o triÂngulo é retângulo e AOB é isosceles, BO =OA = raio da circunferncia circunscrita

[cajuADMIN]

Quando eu postei o geogebra eu estava pensando que a questão tinha uma "estranheza". Mas, pensando mais sobre a situação, vi que na verdade o desenho trouxe um elemento que remove essa estranheza!

A estranheza é o fato de que, no [tex3]PN_{\max}[/tex3], os pontos [tex3]S[/tex3] e [tex3]A[/tex3], no meu desenho, serão coincidentes! Isso faria com que não existisse segmento [tex3]SA[/tex3] para aquele perpendicularismo indicado.

Mas, o desenho foi além e não usou o segmento [tex3]SA[/tex3] para indicar a perpendicularidade! Usou uma semi-reta! Portanto, o perpendicularismo vai continuar existindo, mesmo na situação limite! Achei fantástico isso

Grande abraço,
Prof. Caju

[petrasMOD]

@cajuADMIN,
Os peruanos tem uma geometria bem avançada ..basta ver que nos livros as soluções dos problemas não usam trigonometria e são sempre através da geometria e seus artifícios.