Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 100 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

No gráfico calcular "x" se: [tex3]\triangle[/tex3]ABC e [tex3]\triangle [/tex3]PBQ são equiláteros:
AP + QC = 12

Resposta

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Gabarito: 3[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

[petrasMOD]

Para os triângulos [tex3]\triangle ABP[/tex3] e [tex3]\triangle CBQ[/tex3]:
Lado: AB = BC
Lado: BP = BQ

[tex3]\angle ABC = 60^\circ \implies \angle ABP = 60^\circ - \angle PBC[/tex3].
[tex3]\angle PBQ = 60^\circ \implies \angle CBQ = 60^\circ - \angle PBC
[/tex3]

Pelo caso LAL, [tex3]\triangle ABP \cong \triangle CBQ \implies AP = QC\\
AP + QC = 12 \implies AP = 6.[/tex3]

Triângulo equilátero: [tex3]h = \frac{l\sqrt3}{2} \implies \frac{h}{l} = \frac{\sqrt3}{2}\\
\triangle ABC: \frac{BN}{AB} =\frac{\sqrt3}{2}\\\\
\triangle PBQ: \frac{BM}{BP} = \frac{\sqrt3}{2}[/tex3]
BN e BM são bissetrizes,[tex3] \angle ABN = 30^\circ \\\\
\angle PBM = 30^\circ.\\\\ \angle NBM = 30^\circ - \angle PBN.\\\\
\angle ABP = 30^\circ - \angle PBN\\
\\ \therefore \angle NBM = \angle ABP \implies \triangle NBM \sim \triangle ABP (L.A.L.)[/tex3]

Como os dois lados de [tex3]\triangle NBM[/tex3] são exatamente os lados de [tex3]\triangle ABP[/tex3] multiplicados por [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3], o terceiro lado (x) também deve seguir essa proporção em relação ao terceiro lado (AP):[tex3]x = AP \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \boxed{3\sqrt{3}}[/tex3]