IME/ITA ⇒ (Simulado ITA) Movimento Harmónico Simples Tópico resolvido

[jrneliodias]

Uma plataforma de massa M possui haste vertical e na extremidade superior existe um cordão com uma massa [tex3]m[/tex3] presa a outra extremidade. Considere que não há atrito entre a plataforma e o solo. Determine o período para pequenas oscilações do sistema.

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Explicado por favor.
Obrigado pela atenção.

[Auto Excluído (ID:12031)]

calcule o campo gravitacional de uma placa infinita homogênea usando a lei de Gauss
comparando as fórmulas dos campos:
[tex3]G M = \frac{q}{4\pi \epsilon}[/tex3]

[tex3]\int \vec{g} \cdot \vec{dS} = 4\pi GM[/tex3]
[tex3]g 2 \pi R^2 = 4\pi G \sigma \pi R^2[/tex3]
[tex3]g = 2 \pi G \sigma[/tex3]

o período de oscilações pequenas de um pendulo simples é

[tex3]T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g + 2 \pi G \sigma}}[/tex3]

onde sigma é a densidade superficial de massa do plano em questão.

[Auto Excluído (ID: 23699)]

calcule o campo gravitacional de uma placa infinita homogênea usando a lei de Gauss

Não foi mencionado no enunciado que a placa é infinita.
Esse problema está em uma lista do NOIC sobre Massa Reduzida, mas não consegui aplicar direito.
Link da lista, com teoria: https://noic.com.br/materiais-fisica/id ... -ideia-05/

OBS: O gabarito dessa questão é

[tex3]T=2\pi \sqrt{\frac{Ml}{(m+M)g}}[/tex3]

[LeoJaques]

Primeiramente, como se trata de uma pequena oscilação, algumas aproximações devem ser feitas:

[tex3]\sen\theta = \theta [/tex3] e [tex3]\cos\theta [/tex3] = 1

1) Referencial da terra:

q1.parte1.png (211.62 KiB) Exibido 2590 vezes

(Errei na hora de desenhar, confundindo [tex3]\alpha [/tex3] com [tex3]\theta [/tex3])

. Na massa M:
[tex3]F_{at} = Ma_{M} [/tex3] (I)

. Na haste (massa desprezível, logo sua força resultante é igual a zero)
[tex3]F_{at} = T\sen\theta [/tex3] (II)

. Como a esfera realiza uma pequena oscilação, sua força resultante na vertical deve ser nula, logo:
[tex3]T\cdot \cos\theta = mg \Rightarrow T = mg [/tex3](III)

De (I), (II) e (III): [tex3]a_{M} = \frac{T\sen\theta}{M} = \frac{mg\theta}{M} [/tex3] (IV)

2) Referencial da esfera:
Neste referencial devemos considerar uma aceleração [tex3]a_{M}[/tex3] no sentido contrário da aceleração sentida pela plataforma.

q1.parte2.png (170.27 KiB) Exibido 2589 vezes

2º Lei de newton para rotação:

[tex3]ma_{M}\cos\theta L + mg\sen\theta L = I\alpha [/tex3]
Note que o momento de inércia deste sistema é [tex3]mL^2[/tex3], logo: [tex3]ma_{M}\cos\theta L + mg\sen\theta L = mL^2\alpha \Rightarrow \frac{mg\sen\theta}{M}\cos\theta L + g\sen\theta L = L^2\alpha \Rightarrow \frac{mg\theta }{M} L + g\theta L = L^2\alpha \Rightarrow \theta\(\frac{mg }{M} + g \) = L\alpha \Rightarrow \theta\(\frac{mg}{ML} + \frac{g}{L} \) = \alpha[/tex3], (Equação característica do MHS), logo [tex3]\omega = \sqrt{\frac{mg}{ML} + \frac{g}{L}} \Rightarrow T = 2\pi \sqrt{\frac{ML}{g(m+M)}}[/tex3]
Note que calculamos o período T em um referencial não inercial, mas como o tempo independe do referencial (desprezando efeitos relativísticos), o período no referencial da terra é o mesmo.

[LeoJaques]

Tirando essas forças de atritos esquisitas. A explicação é a mesma.