IME/ITA ⇒ dinamica molas ita 2011 Tópico resolvido

[gabrielmacc]

(ITA-SP) 2011 Sobre uma mesa sem atrito, uma bola de massa M é presa por duas molas alinhadas, de constante de mola k e o comprimento natural ℓ0,
fixadas nas extremidades da mesa. Então, a bola é deslocada a uma distância x na direção perpendicular à linha inicial das molas, como mostra a
figura, sendo solta a seguir.

Obtenha a aceleração da bola, usando a aproximação (1 + a)^α = 1 + αa.

a = –kx / M
B = –kx2/ 2Ml0
C = –kx2 / Ml0
D= –kx3/ 2Ml02
E = –kx3/ Ml02

Resposta

---

E

[παθμ]

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111.png (11.07 KiB) Exibido 2289 vezes

Seja [tex3]l[/tex3] o comprimento de cada mola quando a partícula é deslocada de [tex3]x,[/tex3] e seja [tex3]\theta[/tex3] o ângulo que cada mola forma com a vertical pontilhada na figura.

A força elástica em cada mola é [tex3]F_e=k(l-l_0)=k\left(\sqrt{x^2+l_0^2}-l_0\right),[/tex3] e nós temos [tex3]\cos(\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^2+l_0^2}}.[/tex3]

A força restauradora na partícula é [tex3]F=2F_e \cos(\theta)=2kx\left(1-\frac{l_0}{\sqrt{x^2+l_0^2}}\right)=2kx\left(1-\left(1+\frac{x^2}{l_0^2}\right)^{-1/2}\right)[/tex3]

Para [tex3]\delta \ll 1,[/tex3] vale a aproximação binomial [tex3](1+\delta )^{\alpha} \approx 1+ \alpha \delta .[/tex3] Daí, como [tex3]x \ll l_0 \Longrightarrow \frac{x^2}{l_0^2} \ll 1,[/tex3] podemos usar essa aproximação, e nós obtemos:

[tex3]F=2kx \cdot \frac{x^2}{2l_0^2}=\frac{kx^3}{l_0^2}.[/tex3]

A aceleração da massa é [tex3]a=\frac{F}{m}=\boxed{\frac{kx^3}{ml_0^2}}[/tex3]

Alternativa E

[Kylambuza]

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111.png

Seja [tex3]l[/tex3] o comprimento de cada mola quando a partícula é deslocada de [tex3]x,[/tex3] e seja [tex3]\theta[/tex3] o ângulo que cada mola forma com a vertical pontilhada na figura.

A força elástica em cada mola é [tex3]F_e=k(l-l_0)=k\left(\sqrt{x^2+l_0^2}-l_0\right),[/tex3] e nós temos [tex3]\cos(\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^2+l_0^2}}.[/tex3]

A força restauradora na partícula é [tex3]F=2F_e \cos(\theta)=2kx\left(1-\frac{l_0}{\sqrt{x^2+l_0^2}}\right)=2kx\left(1-\left(1+\frac{x^2}{l_0^2}\right)^{-1/2}\right)[/tex3]

Para [tex3]\delta \ll 1,[/tex3] vale a aproximação binomial [tex3](1+\delta )^{\alpha} \approx 1+ \alpha \delta .[/tex3] Daí, como [tex3]x \ll l_0 \Longrightarrow \frac{x^2}{l_0^2} \ll 1,[/tex3] podemos usar essa aproximação, e nós obtemos:

[tex3]F=2kx \cdot \frac{x^2}{2l_0^2}=\frac{kx^3}{l_0^2}.[/tex3]

A aceleração da massa é [tex3]a=\frac{F}{m}=\boxed{\frac{kx^3}{ml_0^2}}[/tex3]

Alternativa E

Uma dúvida, no exercício ele pede a aceleração da bola. Portanto, não seria a força resultante que age na bola naquele momento?
Ou seja, ia ficar com as duas forças da mola + a força peso que a bola exerce = M*a.