IME/ITA ⇒ Vetores Tópico resolvido

[athineias]

As forças que atuam em um corpo foram diagramada em um hexágono de lado L, como na figura abaixo. Dessa forma, o modulo de
FO - OD - BC

Resposta

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5√3L/3

[LeonhardEuler]

Sabe-se que todo hexágono regular pode ser subdivido em 6 triângulos equiláteros idênticos, observe:

Hexágono divido em 6 triângulos equiláteros iguais

Considere que [tex3]O[/tex3] é o ortocentro do triângulo superior. Sendo o ortocentro de um triângulo equilátero, ele também é o baricentro, incentro e ortocentro do triângulo. Sabemos que a altura de um triângulo equilátero é dada por:
[tex3]h = \frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Pela propriedade do baricentro que divide cada mediana (no nosso caso, coincidindo com a altura) na proporção de 2:1, temos que:

Veja a divisão proporcional da altura do triângulo superior

Agora, definindo como positivo os sentidos para cima e para a direita, podemos facilmente encontrar as componentes em x e y de cada um dos vetores:
[tex3]\overrightarrow{FO_x} = +L \\
\overrightarrow{FO_y} = +\frac{L\sqrt{3}}{3} \\
\overrightarrow{OD_x} = +\frac{L}{2} \\
\overrightarrow{OD_y} = -\left( \frac{L \sqrt{3}}{3} + \frac{L \sqrt{3}}{2} \right) = - \frac{5 L \sqrt{3}}{6} \\
\overrightarrow{BC_x} = +\frac{L}{2} \\
\overrightarrow{BC_y} = -\frac{L \sqrt{3}}{2}[/tex3]

Componentes dos vetores

Agora basta fazer a operação componente a componente:
[tex3]\overrightarrow{FO} - \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{BC} = (FO_x - OD_x - BC_x, \ FO_y - OD_y - BC_y) \\
\left(+L - \left( +\frac{L}{2} \right) - \left( +\frac{L}{2} \right), \ +\frac{L\sqrt{3}}{3} - \left( - \frac{5 L \sqrt{3}}{6} \right) - \left(-\frac{L \sqrt{3}}{2} \ \right) \right) \\
\left(0 ,\ \frac{5L\sqrt{3}}{3} \right)
[/tex3]
Nesse caso, a componente x zerou, portanto o módulo do vetor é igual a componente y, entretanto, caso a componente x não fosse zero, bastaria aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo do vetor resultante (isso porque decompomos os vetores em direções perpendiculares, em direções não perpendiculares é necessário aplicar outros métodos)

[athineias]

entendi absolutamente tudo irmão, valeu! mas realmente não compreendi essa sua sitação no final:

caso a componente x não fosse zero, bastaria aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo do vetor resultante (isso porque decompomos os vetores em direções perpendiculares

[LeonhardEuler]

Veja que decompomos os vetores em x e y e, no final da soma das componentes, a componente x zera, isso significa que o seu "vetor resultante" está "contido" inteiramente na direção vertical, isto é, no eixo y, o que me permite dizer que o módulo do vetor resultante será sua própria componente y. Caso a componente x não fosse zero, eu teria que as componentes do meu vetor resultante seria:
[tex3](x_{\vec{V}}, \ y_{\vec{V}})[/tex3]
Com [tex3]x_{\vec{V}} \neq0[/tex3] e [tex3]y_{\vec{V}} \neq 0[/tex3]. Ou seja, parte do módulo do seu vetor estaria em x e parte do seu vetor estaria em y, ficando então com a seguinte situação:

Veja que temos uma componente do vetor V em x (em azul) e outra em y (em vermelho)

Como os eixos x e y são perpendiculares, é possível afirmar que o módulo do vetor resultante dessas componentes será dado pelo teorema de Pitágoras entre estas componentes:
[tex3]\vec{V} = \vec{V_x} + \vec{V_y} \\
|\vec{V}| = \sqrt{|\vec{V_x}|^2 + |\vec{V_y}|^2}
[/tex3]
Se fizermos [tex3]|\vec{V_x}| =0[/tex3]:
[tex3]|\vec{V}| = |\vec{V_y}|[/tex3]
Se não tiver ficado claro, não hesite em perguntar novamente! estou feliz em ajudar