IME/ITA ⇒ (IPHO) Óptica Tópico resolvido

[gabrielifce]

Considere uma placa de faces paral elas, transparente, de espessura d. Seu índice de refração varia com n=[tex3]\frac{n0}{1-\frac{x}{R}}[/tex3]. Um feixe de luz passa do ar perpendicular para placa no ponto A (xA=0) e emerge no ponto B em um ângulo [tex3]\alpha[/tex3].

A) encontre o índice de refração no ponto B.
B) O valor de x no ponto B.
C) Localizar a espessura d da placa.

dados: n0=1,2; R=13cm;[tex3]\alpha[/tex3]=30°

Resposta

---

A)nb=1,3; B) xb=1cm; C)[tex3]\sqrt{R^{2}-(R-x)^{2}}[/tex3]

[gabrielifce]

UpAlguém

[Auto Excluído (ID:12031)]

tenta usar a lei de snell entre dois planos paralelos bem próximos um do outro de forma que você pode supor que a luz ande uma linha reta entre os planos, isso deve te dar uma equação diferencial bacana pra achar o ângulo em função de x.

PS: os planos são paralelos ao eixo y pra fazer sentid, tipo imagina a figura virada de 90º sentido antihorário

[RafaeldeLima]

Screen Shot 2016-10-20 at 3.45.49 PM.png (76.68 KiB) Exibido 3925 vezes

Como dito por sousóeu, analisamos dois planos que estão à uma distancia [tex3]dx[/tex3] um do outro. Dentro
desse intervalo, podemos considerar que o raio luminoso viaja em linha reta, pois consideramos constante o índice
de refração entre os pontos [tex3]x[/tex3] e [tex3]x + dx[/tex3].

Lei de snell para esses planos:

[tex3]n_x \cdot \sen \theta = n_{(x+dx)}\cdot \sen (\theta + d\theta)[/tex3]

[tex3]\frac{n_0}{\left(1 - \frac{x}{R}\right)}\cdot \sen \theta = \frac{n_0}{\left(1 - \frac{(x+dx)}{R}\right)}\cdot (\sen \theta\cdot \cos d\theta + \sen d\theta\cdot \cos \theta)[/tex3]

Aqui fazemos algumas considerações:

[tex3]\cos d\theta \approx 1 \\ \sen d\theta \approx d\theta[/tex3]

[tex3]\frac{\cancel{n_0}}{\left(1 - \frac{x}{R}\right)}\cdot \sen \theta = \frac{\cancel{n_0}}{\left(1 - \frac{(x+dx)}{R}\right)}\cdot (\sen \theta + d\theta\cdot \cos \theta)[/tex3]

[tex3]\frac{\sen \theta}{\left(1 - \frac{x}{R}\right)} = \frac{\sen \theta + d\theta\cdot \cos \theta}{\left(1 - \frac{(x+dx)}{R}\right)}[/tex3]

Dividindo os dois lados por [tex3]\sen \theta[/tex3] :

[tex3]\frac{1}{\left(1 - \frac{x}{R}\right)} = \frac{1+ d\theta\cdot \cot \theta}{\left(1 - \frac{(x+dx)}{R}\right)}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\left(1 - \frac{x}{R}\right)} = \frac{1+ \cot \theta\cdot d\theta}{\left(1 - \frac{(x+dx)}{R}\right)}[/tex3]

[tex3]R - (x+dx) = (R-x)(1+\cot \theta\cdot d\theta)[/tex3]

[tex3]R -x-dx = R +R\cdot \cot \theta\cdot d\theta - x - x\cdot \cot \theta\cdot d\theta[/tex3]

[tex3]\cancel{R} \ \cancel{-x}-dx = \cancel{R} +R\cdot \cot \theta\cdot d\theta \ \cancel{- x} - x\cdot \cot \theta\cdot d\theta[/tex3]

[tex3]-dx = R\cdot \cot \theta\cdot d\theta - x\cdot \cot \theta\cdot d\theta[/tex3]

[tex3]dx = x\cdot \cot \theta\cdot d\theta -R\cdot \cot \theta\cdot d\theta[/tex3]

[tex3]dx = (x-R)\cot \theta\cdot d\theta[/tex3]

De onde chegamos na equação diferencial ordinária:

[tex3]\boxed{\frac{dx}{x-R} = \cot \theta\cdot d\theta}[/tex3]

Integrando indefinidamente:

[tex3]\int\frac{dx}{x-R} = \int \cot \theta\cdot d\theta[/tex3]

[tex3]\int\frac{dx}{x-R} = \int \frac{\cos \theta}{\sen \theta}\cdot d\theta[/tex3]

Substituição:

[tex3]\begin{cases}
u = x-R \\
v= \sen \theta
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
du=dx \\
dv= \cos \theta\cdot d\theta
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\int\frac{du}{u} = \int \frac{dv}{v}[/tex3]

[tex3]\ln (u) = \ln (v) + C[/tex3]

[tex3]\ln (x-R) = \ln (\sen \theta) + C[/tex3]

[tex3]C = \ln (x-R) - \ln (\sen \theta)[/tex3]

[tex3]C = \ln \left(\frac{x-R}{\sen \theta}\right)[/tex3]

[tex3]e^C = \frac{x-R}{\sen \theta}[/tex3]

[tex3]C' = \frac{x-R}{\sen \theta}[/tex3]

[tex3]\boxed{C'\cdot \sen \theta = x- R}[/tex3]

Para acharmos o valor de [tex3]C'[/tex3] precisamos da condição de contorno:

[tex3]\rightarrow[/tex3] Quando [tex3]x = 0[/tex3], temos [tex3]\theta = 90^o[/tex3]

[tex3]C'\cdot \sen (90^o) = 0- R[/tex3]

[tex3]\boxed{C' =- R}[/tex3]

Logo:

[tex3]-R\cdot \sen \theta = x- R[/tex3]

[tex3]x = R- R\cdot \sen \theta[/tex3]

[tex3]\boxed{x = R(1-\sen \theta)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)[/tex3]

Agora precisamos encontrar o valor de [tex3]x[/tex3] para o ponto [tex3]B[/tex3], que chamaremos de [tex3]x_{B} \\[/tex3].
Aplica-se novamente a lei de Snell no ponto B. Aqui precisamos manter a coerência dos ângulos. O ângulo [tex3]\theta[/tex3] pertencente à equação é o complementar do ângulo [tex3]\theta_B[/tex3]. O ângulo que deve constar na Lei de [tex3]\\[/tex3]
Snell é [tex3]\theta_B[/tex3], já que em B a linha normal é vertical, e não horizontal como dentro da placa.

Screen Shot 2016-10-20 at 4.04.39 PM.png (61.37 KiB) Exibido 3925 vezes

Lei de Snell:

[tex3]n_B\cdot \sen \theta_B = n_{ar}\cdot \sen \alpha[/tex3]

[tex3]n_B\cdot \sen (90-\theta) = 1\cdot \sen \alpha[/tex3]

[tex3]n_B\cdot \cos \theta = \sen \alpha[/tex3]

[tex3]n_B = \frac{\sen \alpha}{\cos \theta}[/tex3]

[tex3]\frac{n_0}{1 - \frac{x_B}{R}} = \frac{\sen \alpha}{\sqrt{1-\sen ^2\theta}}[/tex3]

[tex3]\boxed{n_0\sqrt{1 - \sen ^2\theta} = {\sen \alpha\left(1 - \frac{x_B}{R}\right)}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)[/tex3]

Reescrevendo a equação (1):

[tex3]\frac{x}{R} = 1 - \sen \theta[/tex3]

[tex3]{\sen \theta =1 - \frac{x}{R}}[/tex3]

Em [tex3]x_B[/tex3] portanto:

[tex3]\boxed{{\sen \theta =1 - \frac{x_B}{R}}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)[/tex3]

Substituindo (3) em (2):

[tex3]n_0\sqrt{1 - \sen ^2\theta} = {\sen \alpha\cdot \sen \theta}[/tex3]

Eleva ao quadrado:

[tex3]n_0^2(1 - \sen ^2\theta) = {\sen ^2\alpha\cdot \sen ^2\theta}[/tex3]

[tex3]n_0^2 - n_0^2\sen ^2\theta = {\sen ^2\alpha\cdot \sen ^2\theta}[/tex3]

[tex3]n_0^2 = {\sen ^2\alpha\cdot \sen ^2\theta}+ n_0^2\sen ^2\theta[/tex3]

[tex3]n_0^2 = \sen ^2\theta(\sen ^2\alpha+n_0^2)[/tex3]

[tex3]\sen ^2\theta = \frac{n_0^2}{\sen ^2\alpha+n_0^2}[/tex3]

[tex3]\sen \theta = \sqrt{\frac{n_0^2}{\sen ^2\alpha+n_0^2}}[/tex3]

[tex3]\sen \theta = \frac{n_0}{\sqrt{\sen ^2\alpha+n_0^2}}[/tex3]

Substituindo (3) na equação acima:

[tex3]1 - \frac{x_B}{R} = \frac{n_0}{\sqrt{\sen ^2\alpha+n_0^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{x_B}{R} = 1 - \frac{n_0}{\sqrt{\sen ^2\alpha+n_0^2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{x_B = R\left(1 - \frac{n_0}{\sqrt{\sen ^2\alpha+n_0^2}}\right)}[/tex3]

Substituindo os valores:

[tex3]\begin{cases}
n_0=1,2 \\
R=13 \ cm \\
\alpha=30^o
\end{cases}[/tex3]

[tex3]x_B = 13\left(1 - \frac{1,2}{\sqrt{\(\frac{1}{2}\)^2+{(1,2)}^2}}\right)[/tex3]

[tex3]x_B = 13\left(1 - \frac{1,2}{\sqrt{0,25 + 1,44}}\right)[/tex3]

[tex3]x_B = 13\left(1 - \frac{1,2}{\sqrt{1,69}}\right)[/tex3]

[tex3]x_B = 13\left(1 - \frac{1,2}{1,3}\right)[/tex3]

[tex3]x_B = 13\left(\frac{1,3-1,2}{1,3}\right)[/tex3]

[tex3]x_B = 13\cdot \frac{0,1}{1,3}[/tex3]

[tex3]x_B = \cancel{13}\cdot \frac{0,1}{\cancel{1,3}}[/tex3]

[tex3]x_B = 10 \cdot 0,1[/tex3]

[tex3]\boxed{x_B = 1 \ cm}[/tex3]

Assim sendo, temos:

[tex3]n_B = \frac{n_0}{1-\frac{x_B}{R}}[/tex3]

[tex3]n_B = \frac{1,2}{1-\frac{1}{13}}[/tex3]

[tex3]n_B = \frac{13 \cdot 1,2}{13-1}[/tex3]

[tex3]n_B = \frac{13 \cdot 1,2}{12}[/tex3]

[tex3]n_B = \frac{13 \cdot \cancel{1,2}}{\cancel{12}}[/tex3]

[tex3]n_B = \frac{13}{10}[/tex3]

[tex3]\boxed{n_B = 1,3}[/tex3]

[undefinied3]

Só queria contribuir com uma solução que foge de ter que resolver uma equação diferencial.

Quando a luz sofre refração múltiplas vezes ao longo de um trajeto com n variável, temos que [tex3]n_a.sen(\alpha)=n_b.sen(\beta)[/tex3] e, em específico, [tex3]n_0.sen(\theta_0)=n_f.sen(\theta_f)[/tex3]

Isso é fácil de provar, porque podemos escrever várias equações para cada pequeno deslocamento do raio:
[tex3]n_0.sen(\theta_0)=n_1.sen(\theta_1)[/tex3]
[tex3]n_1.sen(\theta_1)=n_2.sen(\theta_2)[/tex3]
...

Pois da geometria, tiramos que o raio que refratado de um meio é o mesmo que o incidente para o outro (já que as normais são sempre paralelas).

Assim, para o exercício em questão, podemos fazer:

[tex3]n_0.sen(90)=n_b.sen(\theta)[/tex3]
Note que este theta não é o alpha da figura, pois o alpha é angulo refratado da saída do raio de luz. O theta em questão é o último meio, paralelo ao eixo y, que faz o raio refratar, antes dele sair da placa.
Agora, da geometria, veja que o ângulo de incidência da saída da placa será [tex3]90-\theta[/tex3], inclusive como foi exposto pelo RafaelDeLima, assim, para a refração de saída da placa:
[tex3]n_b.sen(90-\theta)=n_{ar}.sen(\alpha) \rightarrow n_b.cos(\theta)=\frac{1}{2}[/tex3]
Dividindo a primeira equação por essa, chegamos em:
[tex3]2n_0=tg(\theta) \rightarrow 2,4 = tg(\theta)[/tex3]
Então theta é ângulo do famoso triângulo 5 12 13, sendo que ele está virado para o lado de 12 unidades. Assim, [tex3]sen(\theta)=\frac{12}{13}[/tex3], e voltando na primeira equação:
[tex3]1,2=n_b.\frac{12}{13} \rightarrow n_b=1,3[/tex3]

Como o meio nos fornece uma equação para n em função de x:

[tex3]1,3=\frac{1,2}{1-\frac{x}{13}} = \frac{1,2*13}{13-x} \rightarrow 13-x=1,2*10 \rightarrow x =1[/tex3]

A espessura eu não consegui achar um jeito de calcular :/

[LeoJaques]

Item C)

[tex3]\frac{dy}{dx} = tg\theta = \left(\frac{sen\theta }{\sqrt{1-sen^{2}\theta}}\right) [/tex3]

Mas, Do ponto A para um ponto qualquer da trajetória, temos: [tex3]n_0sen(\frac{\pi}{2}) = \frac{n_0sen\theta }{1 - \frac{x}{R}} \Rightarrow sen\theta = 1 - \frac{x}{R} [/tex3]

Logo, [tex3]\left(\frac{sen\theta }{\sqrt{1-sen^{2}\theta}}\right) = \frac{R - x}{\sqrt[]{2rx - x^{2}}} \Rightarrow D = \int\limits_{}^{}\frac{R - x}{\sqrt[]{2rx - x^{2}}}dx [/tex3]
Fazendo [tex3]2Rx - x^{2} = k \Rightarrow \left(2R - 2x\right)dx = dk \Rightarrow D = \int\limits_{}^{}\frac{dk}{2\sqrt{k}} = \sqrt[]{k} = \sqrt{2rx - x^{2}}[/tex3]