ITA 1954 ⇒ (ITA-1954) Resolver o sistema de inequações Tópico resolvido

[JigsawMOD]

2ª Parte

11 – Demonstrar que o resto da divisão de um polinômio [tex3]P(x)[/tex3], racional inteiro em [tex3]x[/tex3], por [tex3]x-a[/tex3] é [tex3]P(a) [/tex3], isto é, o valor que assume [tex3]P(x) [/tex3], quando se faz [tex3]x=a[/tex3].

12 – Resolver o sistema de inequações

[tex3]x^2+x-2>0[/tex3]
[tex3]2x^2-x-1<0[/tex3]

13 – Demonstrar que o volume de um cilindro reto de base circular é [tex3]\pi\ r^2h[/tex3], sendo [tex3]r[/tex3] o raio da base e [tex3]h[/tex3], a altura do cilindro.

Resposta

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11) Resposta: ND
12) Resposta: Não há valor de x que satisfaça ao sistema.
13) Resposta: ND
Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.

OBS = Também mantive os três itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço.

[petrasMOD]

Jigsaw,
Grau do resto é inferior ao grau do divisor portanto no nosso caso terá grau 0 e assim será uma cosntante
1) [tex3]\frac{P(x)}{(x-a)}=q(x)+r \implies P(x) = (x-a).q(x)+r\\
\therefore P(a) = (a-a)q(x)+r \implies \boxed{P(a)=r}[/tex3]

2) [tex3]

\left\{\begin{matrix}
x^2+x-2 &> 0 \\
2x^2-x-1 & <0 \\
\end{matrix}\right.\\
i) \Delta =1+8=9 \implies x=1 \vee x = -2\\
\therefore x < -2 \vee ou x > 1(I)\\
ii) \Delta=9 \implies x = 1 \vee x = -\frac{1}{2}\\
\therefore -\frac{1}{2} < x < 1 (II)\\
(I) \cap(II): \boxed{\oslash}\\
[/tex3]


3) Construimos um prisma de mesma área da base que o cilindro e de mesma altura
Passando um plano paralelo a base pelo dois sólidos teremos definidos duas novas áreas iguais a área da base
O volume do prisma é área da base x h
Pelo principio de Cavalieri : Dados dois sólidos geométricos A e B de mesma altura e áreas das bases, que, por sua vez, estão contidas no mesmo plano α. Os sólidos A e B têm o mesmo volume se qualquer plano β, paralelo a α, determinar duas secções transversais com áreas iguais.
Sendo assim o volume do cilindro será igual ao do prisma : [tex3]V_c=S_b.h = \pi r^2.h [/tex3]