ITA 1975 ⇒ (ITA-75) Questão 4 - Progressão Tópico resolvido

[poti]

A expressão [tex3]1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{5}{16} + ...[/tex3] vale

a) 4
b) 9/2
c) 7/2
d) 3,8
e) nda

[VitorFerreira]

A questão só pede isso mesmo? E ainda não tem fim?

Dica: O numeradores formam uma P.A. de razão 1 e os denominadores formam uma P.G. de razão 2.

[SirTcgm]

A expressão pode ser reescrita como :
[tex3]1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+...[/tex3]
[tex3]\underbrace{\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...\right)}_{\text{(I)}}+\underbrace{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...\right)}_{\text{(II)}}+\underbrace{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...\right)}_{\text{(III)}}+...[/tex3]

[tex3]S_{I}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2[/tex3]
[tex3]S_{II}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1[/tex3]
[tex3]S_{III}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]S_{IV}=\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}[/tex3]

Ou seja as infinitas somas também formam uma PG, tal que [tex3]S_{I}+S_{II}+S_{III}+S_{IV}+...=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...=\frac{2}{1-\frac{1}{2}}=4[/tex3]

Logo, [tex3]\boxed{1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+...=4}[/tex3]
Letra A

TM

[Vinisth]

2º Solução :
[tex3]Sn = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{5}{16} + ... (I)[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}Sn = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + ...[/tex3] [tex3](II)[/tex3] <~~ multipliquei por [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] ambos lados
[tex3](I) - (II)[/tex3] :
[tex3]\frac{1}{2}Sn = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...[/tex3] Multiplique Ambos por [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] novamente
[tex3]\frac{1}{4}Sn = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...[/tex3]
Subtraia membro a menbro da mesma forma temos :
[tex3]\frac{1}{4}Sn=1[/tex3]
[tex3]Sn = 4[/tex3]

Abração

[poti]

Que visão fantástica que vocês dois tiveram, valeu mesmo.

[FilipeCaceres]

Olá Poti,

Vou lhe dar uma dica, a forma mais fácil de resolver uma P.A-PG é fazendo como o Vinisth fez, ou seja, basta multiplicar a soma pela razão da PG, fazendo isso você sempre encontrará o resultado.

Abraço.

[Alexninjago]

Pq vc fez 2/2-2/4 igual a 1/4 mn