IME/ITA ⇒ (IME-1977-2) Equação de Van der Waals Tópico resolvido

[EngHaw]

ENUNCIADO: Dada a equação de van der Waals

[tex3](\text{p}+\frac{\text{a}}{\text{V}^2})(\text{V-b}) = \text{RT}[/tex3],

onde a e b são constantes de van de Waals, aplicá-la no ponto crítico (ponto onde líquido e vapor podem coexistir).
Pede-se:

a) esquematizar num gráfico p-V o comportamento da curva para uma isoterma abaixo da crítica;
b) determinar as coordenadas de estado ([tex3]\text{V}_\text{c}[/tex3], [tex3]\text{p}_\text{c}[/tex3], [tex3]\text{T}_\text{c}[/tex3]) no ponto crítico em função de a, b e R.

Resposta

---

NÃO TENHO o gabarito

[Farinheiro]

a)

2019-005-03.jpg (33.12 KiB) Exibido 3307 vezes

linhas azuis

b)

A partir do ponto crítico, a fase líquida coexiste com a fase gasosa, ou seja, o erro devido a equação de Van der Waals( entre fases ) que faz com que nos casos abaixo da temperatura crítica o aumento do volume seja simultâneo com o aumento da pressão em alguns casos não existe mais. Nesse caso, na curva da isoterma crítica, especificamente, há apenas um ponto de inflexão, este definindo o ponto crítico.

Sendo [tex3]T_c[/tex3] a temperatura da isotérmica crítica, [tex3]p_c[/tex3] e [tex3]V_c[/tex3] são definidos como o ponto de inflexão na curva da isoterma crítica. Pode-se então escrever:

[tex3]\left ( \frac{\partial p}{\partial V} \right )_{T} = \left ( \frac{\partial^2 p}{\partial V^2} \right )_{T} = 0.[/tex3]

Para resolver o sistema basta encontrar [tex3]P[/tex3] em função de [tex3]V[/tex3] na eq de Van der Waals.

[tex3]p=\frac{RT}{(V-b)}-\frac{a}{V^2}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \left ( \frac{\partial p}{\partial V} \right )= -\frac{RT}{(V-b)^2}+\frac{2a}{V^3}[/tex3] (1)

[tex3]\rightarrow \left ( \frac{\partial^2 p}{\partial V^2} \right )= \frac{2RT}{(V-b)^3}-\frac{6a}{V^4}[/tex3] (2)

Para [tex3]p_c[/tex3], [tex3]V_c[/tex3] e [tex3]T_c[/tex3]

(1) [tex3]\rightarrow -\frac{RT_c}{(V_c-b)^2}+\frac{2a}{V_c^3}=0\rightarrow RT_c=\frac{2a(V_c-b)^2}{V_c^3}[/tex3].

(2) [tex3]\rightarrow \frac{2RT_c}{(V_c-b)^3}-\frac{6a}{V_c^4}=0\rightarrow \frac{3a(V_c-b)^3}{V_c^4}=RT_c=\frac{2a(V_c-b)^2}{V_c^3}[/tex3]

[tex3]\rightarrow 3(V_c-b)=2V_c\rightarrow V_c=3b[/tex3].

Substituindo em (1)...

[tex3]-\frac{RT_c}{(3b-b)^2}+\frac{2a}{(3b)^3}=0\rightarrow T_c=\frac{8a}{27Rb}[/tex3]

Por fim, para encontrar [tex3]p_c[/tex3] usa-se o próprio Van der Waals.

[tex3]p_c=\frac{RT_c}{(V_c-b)}-\frac{a}{V_c^2}[/tex3]

[tex3]\rightarrow p_c=\frac{4a}{27b^2}-\frac{a}{9b^2}\rightarrow p_c=\frac{a}{27b^2}[/tex3]

Se surgir duvidas teóricas sugiro as aulas do Prof. Jorge Sá Martins:

https://www.youtube.com/watch?v=q4h8XN5njyA
https://www.youtube.com/watch?v=SwXqS1w5yvg

https://www.youtube.com/watch?v=q4h8XN5njyA

[EngHaw]

Substituindo em (1)...

[tex3]-\frac{RT_c}{(3b-b)^2}+\frac{2a}{(3b)^3}=0\rightarrow T_c=\frac{8a}{27Rb}[/tex3]

Por fim, para encontrar [tex3]p_c[/tex3] usa-se o próprio Van der Waals.

[tex3]p_c=\frac{RT_c}{(V_c-b)}-\frac{a}{V_c^2}[/tex3]

[tex3]\rightarrow p_c=\frac{4a}{27b^2}-\frac{a}{9b^2}\rightarrow p_c=\frac{a}{27b^2}[/tex3]

Farinheiro, EXCELENTE resolução, mas no item b a resposta não teria que ser em função de R também?

[Farinheiro]

EngHaw, só é necessário usar a constante dos gases na temperatura. [tex3]T_c=\frac{8a}{27Rb}[/tex3].