Colégio Naval 1975 ⇒ Questão 06 - CN - 1975 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Dois números inteiros positivos têm soma 96 e o máximo divisor comum igual a 12. Dar o maior dos dois números sabendo que o produto deles deve ser o maior possível
a) 48 b) 84 c) 60 d) 72 e) 36

Se o DC(x, y) = 12, então podemos escrever os números x e y como:
x = 12a
y = 12b
Onde a e b devem ser primos entre si ou seja, MDC(a, b) = 1
12a + 12b = 96 portanto a + b = 8

Pares possíveis para (a, b) onde a e b são inteiros positivos e MDC(a, b) = 1 e a + b = 8

a=1, b=7 [tex3]\rightarrow [/tex3] MDC(1, 7) = 1 (Válido)
a=2, b=6 [tex3]\rightarrow [/tex3]MDC(2, 6) = 2 (Inválido - não são primos entre si)
a=3, b=5 [tex3]\rightarrow [/tex3]MDC(3, 5) = 1 (Válido)a=4, b=4 \implies MDC(4, 4) = 4 (Inválido - não são primos entre si))

[tex3]
Produto (x⋅y) = 12a.12b\\(1, 7):12 \cdot 1 = \mathbf{12} ~e ~12 \cdot 7 = \mathbf{84}\\12 \cdot 84 = 1.008\\
(3, 5):12 \cdot 3 = \mathbf{36} ~ e~ 12 \cdot 5 = \mathbf{60}\\
36 \cdot 60 = \mathbf{2.160}[/tex3]

O maior produto ocorre quando os números são 36 e 60. Entre esses dois, o maior é [tex3]\boxed{60_{//}}[/tex3]

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• Dois números inteiros positivos: a e b.

• [tex3]\displaystyle \sf a+b = 96 [/tex3]

• [tex3] \displaystyle \sf m.d.c(a,b) = 12 [/tex3]

Resolução:

Se dois números positivos têm MDC = 12, então podem ser expressa por:
[tex3] \displaystyle \sf a= 12x ~ e ~ b = 12y [/tex3]
Sendo x e y inteiros positivos primos entre si, ou seja, mdc(x, y) = 1.

Condição da soma:
[tex3] \displaystyle \sf 12x +12y = 96 \implies x+y = 8 [/tex3]

Maximizar o produto:
[tex3]\displaystyle \sf a\cdot b = 12x\cdot 12y = 144xy [/tex3]

144 é constante, basta maximizar [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf x \cdot y $}[/tex3], com [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf x +y = 8 $ }[/tex3] e [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf m. d.c(x, y ) = 1 $ }[/tex3]

Testando pares coprimos que somam 8:

[tex3]\displaystyle \sf \begin{array}{| c| c |c | }\hline
\sf x &\sf \sf y & \sf coprimos & \sf produto \\ \hline
\sf 1 &\sf \sf 7 & \sf sim & \sf \color{Red} 7 \\ \hline
\sf 2 &\sf \sf 6 & \sf nao & \sf 12 \\ \hline
\sf 3 &\sf \sf 5 & \sf sim & \sf \color{Red} 15 \\ \hline
\sf 4 &\sf \sf 4 & \sf nao & \sf 16 \\ \hline
\end{array} [/tex3]

O maior produto ocorre com x = 3 e y = 5.

Então os números são:
[tex3] \displaystyle \sf a = 12 \cdot 3 = \colorbox{#FFBF00}{36}~e ~b =12\cdot 5 = \colorbox{#FF7E00}{60} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf a\cdot b = 144 \cdot 3 \cdot 5 \implies a \cdot b = \colorbox{#FFDF00}{2160} [/tex3]

O par (36, 60) gera o maior produto.

Portanto, o maior dos dois números é 60.

Resposta: c) 60