Colégio Naval 1975 ⇒ Questão 19 - CN - 1975

[petrasMOD]

Na figura, temos AB = [tex3]\sqrt{55}[/tex3]cm e AC = 5cm . Calcule a razão entre a área do triângulo ABC e a área do triângulo BDC.

image.png (17.36 KiB) Exibido 280 vezes

a) [tex3]\frac{6}{5}[/tex3] b) 1 c) [tex3]\frac{5}{6}[/tex3] d) [tex3]\frac{\sqrt{11}}{6}[/tex3] e) 2

viewtopic.php?t=83437

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• Um círculo com pontos B, C e D na circunferência.

• Um ponto A fora do círculo.

• [tex3] \displaystyle \sf AB = \sqrt{55} \; cm ~e ~AC = 5 \; cm [/tex3].

Resolução:

Encontrar o comprimento de AD usando o Teorema da Potência de um Ponto (Teorema da Tangente-Secante).

O Teorema da Potência de um Ponto nos diz que: ''o quadrado do comprimento da tangente é igual ao produto das partes da secante externa e total''.
[tex3]\displaystyle \sf (AB)^2 = (AC) \cdot (AD) \implies (\sqrt{55})^2 = 5 \cdot (AD) [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf55 = 5 \cdot (AD) \implies AD = \frac{55}{5} \implies \colorbox{#FFCC33}{ $ \sf AD = 11 \text{ cm} $} [/tex3]

Determinar o comprimento de CD:

[tex3]\displaystyle \sf AD = AC + CD \implies 11 = 5 + CD [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf CD = 11 - 5 \implies \colorbox{#FF6347}{ $ \sf CD = 6 \text{ cm} $} [/tex3]

Calcular a razão entre a área do triângulo [tex3] \displaystyle \sf ABC [/tex3] e a área do triângulo [tex3] \displaystyle \sf BDC [/tex3].

Os triângulos ABC e BDC compartilham a mesma altura a partir do ponto B. Logo, a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases AC e CD:

[tex3] \displaystyle \sf \text{Área}_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (AC) \cdot h[/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \text{Área}_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot (CD) \cdot h [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \text{Razão} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot (AC) \cdot h}{\dfrac{1}{2} \cdot (CD) \cdot h} \implies \text{Razão} = \dfrac{ \cancel{\dfrac{1}{2} }\cdot (AC) \cdot \cancel{ h}}{ \cancel{\dfrac{1}{2}} \cdot (CD) \cdot \cancel{h}} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \text{Razão} = \dfrac{AC}{CD} \implies\text{Razão} = \dfrac{5\; \cancel{cm}}{6\; \cancel{cm}} \implies \colorbox{#FBCEB1}{$ \sf \text{Razão} = \dfrac{5}{6} $} [/tex3]

A alternativa correta é a letra C.