Colégio Naval 1977 ⇒ Questão 07 - CN - 1977 Tópico resolvido

[petrasMOD]

A medida da distância entre os centros de 2 circunferências é dada pelo número 13 e os raios são representados pelos números 4x - 3 e 2x - 1. A soma dos valores de x inteiros que tornam as circunferências secantes, sendo o 1º raio maior que o 2º, é:
a) 6 b) 25 c) 13 d) 20 e) 22

[petrasMOD]

Para que duas circunferências sejam secantes, a distância entre seus centros (d) deve ser maior que a diferença absoluta entre os raios e menor que a soma deles.

Sejam os raios R=4x−3 e r=2x−1, com d=13.

Os raios devem ser valores positivos:

4x−3>0⟹x>0,75

2x−1>0⟹x>0,5

Além disso, o enunciado afirma que o primeiro raio é maior que o segundo: 4x−3>2x−1⟹2x>2⟹x>1

Condição para Circunferências Secantes
A relação fundamental é:
∣R−r∣<d<R+r

d<R+r (Soma dos raios)

13<(4x−3)+(2x−1)
13<6x−4
17<6x⟹x>17/6 ≈2,83

d>R−r (Diferença dos raios) Como o 1º raio é maior, não precisamos de módulo:

13>(4x−3)−(2x−1)
13>4x−3−2x+1
13>2x−2
15>2x⟹x<7,5

Cruzando os intervalos encontrados (2,83<x<7,5): Os valores inteiros possíveis para x são: 3, 4, 5, 6 e 7.

4. Soma dos valores
Soma = 3+4+5+6+7 = [tex3]\boxed{25_{//}}[/tex3]



Gostaria que eu demonstrasse como seriam os raios para um desses valores de x específicos?