Colégio Naval 1979 ⇒ Questão 04 - CN - 1979 Tópico resolvido

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4) Um polígono regular convexo tem o ângulo interno medindo 150º . O número das diagonais deste polígono que não passam pelo seu centro é:
a) 48 b) 42 c) 54 d) 65 e) 30

[petrasMOD]

A fórmula para o ângulo interno [tex3](a_i)[/tex3] de um polígono regular de n lados é[tex3]:
a_i = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}[/tex3]
Sabendo que [tex3]a_i = 150:\\150 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}\\150n = 180n - 360\\30n = 360 \therefore n = 12[/tex3]
O polígono é um dodecágono regular.

A fórmula para o número total de diagonais [tex3]D = \frac{n(n-3)}{2}\\n = 12:\\
D = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 6 \cdot 9 = \mathbf{54 \text{ diagonais}}[/tex3].

Uma diagonal de um polígono regular só passa pelo centro se o número de lados (n) for par. Essas diagonais ligam vértices opostos (diâmetros da circunferência circunscrita).O número de diagonais que passam pelo centro [tex3](d_c)[/tex3] é dado por:$[tex3]d_c = \frac{n}{2}[/tex3]
Para o dodecágono [tex3]d_c = \frac{12}{2} = \mathbf{6 \text{ diagonais}}[/tex3].
Diagonais que NÃO passam pelo Centro = [tex3]D - d_c = \text{Diagonais não centrais} = 54 - 6 =\boxed{ \mathbf{{48}_{//}}}[/tex3]