Colégio Naval 1981 ⇒ Questão 12 - CN - 1981 Tópico resolvido

[petrasMOD]

12) Sobre o sistema
[tex3]\begin{cases}
a^2x+y = 1 \\
x+y=a
\end{cases}[/tex3]
podemos afirmar:
a) para a = 1, o sistema é indeterminado
b) para a = -1, o sistema é determinado
c) para a ≠ -1, o sistema é impossível
d) para a = 0, x = y = 2
e) para a = -1, x = y = 3

[petrasMOD]

1. Análise do Determinante Principal
Um sistema linear [tex3]2 \times 2 [/tex3]é Determinado (SPD) quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero.
[tex3]\Delta = \begin{vmatrix} a^2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (a^2 \cdot 1) - (1 \cdot 1) = a^2 - 1[/tex3]

Para o sistema ser Determinado, precisamos de[tex3] \Delta \neq 0: a^2 - 1 \neq 0 \implies a^2 \neq 1 \implies a \neq 1 \text{ e } a \neq -1[/tex3]

a) Para a = 1, o sistema é indeterminado: Se a = 1, o sistema fica:[tex3] \begin{cases}
1x + y = 1 \\
1x + y = 1
\end{cases}[/tex3]
As duas equações são idênticas. Isso significa que existem infinitas soluções. Portanto, o sistema é Possível e Indeterminado (SPI).Esta alternativa está correta.

b) Para a = -1, o sistema é determinado: Se a = -1, o determinante [tex3]\Delta = (-1)^2 - 1 = 0[/tex3]. Quando o determinante é zero, o sistema ou é indeterminado ou impossível, mas nunca determinado.Incorreta.

c) Para [tex3]a \neq -1[/tex3], o sistema é impossível:Vimos que se a = 1 (que é diferente de -1), o sistema é indeterminado, e para outros valores (como a=2), ele é determinado.Incorreta.

d) Para a = 0, x = y = 2: Substituindo a = 0 no sistema:$[tex3] \begin{cases}
0x + y = 1 \implies y = 1 \\
x + y = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1
\end{cases}\\ \therefore x = -1~ e~ y = 1.[/tex3]
Incorreta.

e) Para a = -1, x = y = 3: Substituindo$a = -1: [tex3]\begin{cases}
x + y = 1 \\
x + y = -1
\end{cases}[/tex3]
É impossível que a soma x+y seja 1 e -1 ao mesmo tempo. O sistema é Impossível (SI).Incorreta.