Colégio Naval 1981 ⇒ Questão 24 - CN - 1981 Tópico resolvido

[petrasMOD]

24) O triângulo ABC é retângulo em A. A hipotenusa BC mede 6cm e o ângulo em C é de 30°. Tomando-se sobre AB o ponto M e sobre BC o ponto P, de maneira que PM seja perpendicular a BC e as áreas dos triângulos CAM e PMB sejam iguais, a distância BM será:
a) 4cm b) 6([tex3]\sqrt{3}[/tex3] - 2)cm c) 6([tex3]\sqrt{2}[/tex3] + 1)cm d) 6([tex3]\sqrt{2}[/tex3] - 1)cm e) 6([tex3]\sqrt{3}[/tex3] - [tex3]\sqrt{2}[/tex3] )cm

[petrasMOD]

[tex3]BM =x\\
\triangle PMB: sen 30^o =\frac{BP}{x} \implies BP = \frac{x}{2}\\
sen 60^o =\frac{PM}{x} \implies PM = \frac{x\sqrt3}{2}\\
\triangle ABC: 6^2 = 3^2+AC^2 \implies AC = 3\sqrt3\\
S\triangle CAM = \frac{AC. AM}{2} = \frac{(3\sqrt3)(3-x)}{2} = \frac{9\sqrt3-3x\sqrt3}{2}(I)\\
S\triangle PMB = \frac{BP.PM}{2} = \frac{x}{2} .\frac{x\sqrt3}{4} = \frac{ x^2\sqrt3}{8}(II)\\
(I)=(II) \frac{ x^2\cancel{\sqrt3}}{8}=\frac{9\cancel{\sqrt3}-3x\cancel{\sqrt3}}{2} \implies x^2 = 36-12x\\
x^2+12x-36=0 \implies (x+6)^2-36-36 = 0 \implies\\ (x+6)^2 = 36.2 \therefore x = 6\sqrt2-6 = \boxed{6(\sqrt2-1)_{//}}
[/tex3]