Colégio Naval 1981 ⇒ Questão 19 - CN - 1981 Tópico resolvido

[petrasMOD]

19) O triângulo ABC tem 60cm² de área. Dividindo-se o lado BC em 3 partes proporcionais aos números; 2, 3 e 7 e tomando-se esses segmentos para bases de 3 triângulos que têm para vértice o ponto A, a área do maior dos 3 triângulos é:
a) 30cm² b) 21cm² c) 35cm² d) 42cm² e) 28cm²

[Kin07]

Resolução:

A área de um triângulo é proporcional à base quando a altura é a mesma. E nesse caso, todos os três triângulos têm o mesmo vértice A e compartilham a mesma altura relativa ao lado BC.

O lado BC é dividido em 3 partes proporcionais aos números 2, 3 e 7. Isso significa que as partes são: 2x, 3x e 7x.

A soma das partes é [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf 2x +3x +7x = 12x $ } [/tex3],o lado BC é dividido em 12 partes iguais.

Se [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf BC = x $ } [/tex3] os segmentos são: [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf \dfrac{2}{12}\, x, \quad \dfrac{3}{12}\,x \quad \dfrac{7}{12}\,x $ } [/tex3]

A área de triângulos que compartilham a mesma altura.

[tex3] \displaystyle \sf \text{Área} = \dfrac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf \text{Área} = \dfrac{\text{x} \cdot \text{h}}{2} = 60\; cm^2 \implies x \cdot h = 120\; cm^2[/tex3]

Para o triângulo cuja base é [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf \dfrac{7x}{12} $ } [/tex3], temos:

[tex3] \displaystyle \sf \text{Área} = \dfrac12 \cdot \left( \dfrac{7}{12}\,x\right) \cdot h [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \text{Área} = \dfrac12 \cdot \dfrac{7}{12} \cdot (x \cdot h) [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \text{Área} = \dfrac{7}{24} \cdot 120 \; cm^2 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \text{Área} = \dfrac{7}{\cancelto{1}{24}} \cdot \cancelto{5}{120} \; cm^2 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \text{Área} = 7 \cdot 5\; cm^2 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \colorbox{#ED872D}{ $ \sf\text{Área} = 35\; cm^2 $}[/tex3]

Alternativa C.