Vol. 05 - Combinatória e Probabilidade 2013 ⇒ 145 - FME 05 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

145. (UF-AM) Um estudante escreveu todos os anagramas da sigla UFAM, cada um em um pedacinho de papel, do mesmo tamanho, e colocou-os em uma caixa vazia. Retirando-se um desses papéis da caixa, ao acaso, a probabilidade de que o anagrama nele escrito tenha as duas vogais juntas é:
a) 25% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60%

Resposta

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d)

[Kin07]

Resolução:

A palavra "UFAM" tem 4 letras distintas. O número total de anagramas possíveis é:
[tex3]\displaystyle \sf N = 4! \implies N = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \colorbox{#FBCEB1}{24} [/tex3]

Para contar quantos anagramas têm as duas vogais juntas, tratamos as vogais (U e A) como uma única letra ou bloco. Assim, temos as seguintes "letras":

• UA

• F

• M

O número de permutações é:

[tex3] \displaystyle \sf P_{\text{junto}} = 3! = 6 [/tex3]

Entretanto, dentro do bloco (UA), as vogais podem ser ordenadas de duas formas: UA e AU. Portanto, devemos multiplicar o resultado por 2:
[tex3]\displaystyle \sf P_{\text{junto}} = 3! \times 2 = 6 \times 2 = \colorbox{#FFBF00}{12}[/tex3]

A probabilidade P de retirar um anagrama com as vogais juntas é:

[tex3]\displaystyle \sf P = \dfrac{\text{Número de anagramas com vogais juntas}}{\text{Número total de anagramas}} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2} = \colorbox{#FBCEB1}{$ \sf 50\% $} [/tex3]

A resposta correta é: d) 50%.